Grenzwert einer Funktion als Bruch

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15.12.2018, 13:23	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Funktion als Bruch Hallöchen Meine Aufgabe: [attach]48554[/attach] Wie geht man dabei vor? Ich habe da am Anfang $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ ausgeklammert und weggekürzt, aber dann sieht es für mich nicht wirklich besser aus. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit dem von rechts und von links zu -6 umgehen soll.
15.12.2018, 14:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es um den Grenzwert für x gegen -6 geht, solltest Du besser (x+6) ausklammern.
15.12.2018, 18:20	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann: $\begin{eqnarray} \frac{(x+6) \cdot ( \frac{x^2}{x+6} + \frac{13x}{x+6} + \frac{42}{x+6}) }{(x+6) \cdot ( \frac{x^3}{x+6} + \frac{8x^2}{x+6} - \frac{12x}{x+6} - \frac{144}{x+6})} \end{eqnarray}$ Da könnte man das $\begin{eqnarray} (x+6) \end{eqnarray}$ wegkürzen und alles etwas zusammenfassen: $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{x^2+13x+42}{x+6} }{ \frac{x^3+8x^2-12x-144}{x+6} } \end{eqnarray}$ Und weiter?
15.12.2018, 18:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine lustige Umformung. So ähnlich, als würde jemand auf die Aufforderung, in $\begin{align} \frac{5+7}{14+4} \end{align}$ durch 6 zu kürzen, das zu $\begin{align} \frac{\frac{5+7}{6}}{\frac{14+4}{6}} \end{align}$ umformen. Hinweis: Linearfaktoren abspalten.
15.12.2018, 19:01	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich nehme $\begin{eqnarray} x^2 + 13x +42 \end{eqnarray}$ und wende die pq-Formel an. Damit bekomme ich $\begin{eqnarray} x_1 = -7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = -6 \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} x^3 + 8x^2 -12x -144 \end{eqnarray}$ wende ich zuerst die Polynomdivision an und erhalte $\begin{eqnarray} x^2 + 12x +36 \end{eqnarray}$ und dann wieder die schöne pq-Formel, sodass ich $\begin{eqnarray} x_3 = -6 \end{eqnarray}$ bekomme. Die Formel für den Grenzwert sieht dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \frac{(x+7)(x+6)}{x+6} \end{eqnarray}$ Gekürzt wäre das dann $\begin{eqnarray} x+7 \end{eqnarray}$ . Darf ich hierbei dann für x die -6 einsetzen, weil das der (eventuelle) Grenzwert ist?
15.12.2018, 19:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Polynom dritten Grades hast du nicht korrekt zerlegt. Richtig ist $\begin{align} x^3 + 8x^2 -12x - 144 = (x-4)(x+6)^2 \end{align}$ Nach Kürzen des Bruches bleibt im Nenner also ein Faktor $\begin{align} x+6 \end{align}$ übrig.
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15.12.2018, 19:51	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du das denn zerlegt? Kann man da nicht einfach die Polynomdivision nehmen? Ich hab den ganzen Term durch $\begin{eqnarray} (x-4) \end{eqnarray}$ geteilt und bin dann auf das oben genannte Ergebnis gekommen. Bei der Division ist auch unten eine Null rausgekommen, was ja zumindest aussagen sollte, dass die Rechnung der Polynomdivision an sich richtig war.
15.12.2018, 20:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} x^3 + 8x^2 - 12 x - 144 = (x-4) \left( x^2 + 12x + 36 \right) = (x-4) (x+6)^2 \end{align}$ Allein aus Gradgründen kann ein Polynom dritten Grades nicht in genau zwei Linearfaktoren zerlegt werden.
15.12.2018, 20:53	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Ich hab die eine Nullstelle auch irgendwie komplett weggelassen, was natürlich wenig sinnvoll war. Na gut, jetzt ist also noch $\begin{eqnarray} \frac{x+7}{(x-4)(x+6)} \end{eqnarray}$ übrig. Was mache ich jetzt damit?
15.12.2018, 20:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppiere so: $\begin{align} \frac{x+7}{x-4} \cdot \frac{1}{x+6} \end{align}$ Der erste Bruch strebt gegen $\begin{align} - \frac{1}{10} \end{align}$ , egal, ob du dich von links oder rechts an $\begin{align} -6 \end{align}$ annäherst. Wichtig ist nur: negativer Wert! Und was ist mit dem zweiten Bruch? Und insgesamt mit dem Term?
15.12.2018, 21:32	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim zweiten Bruch geht's von rechts gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und von links gegen $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ . Aber wie es beim gesamten Term sein soll, kann ich mir irgendwie nicht denken.
15.12.2018, 21:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz naiv herangehen: Was ist $\begin{align} - \frac{1}{10} \ \text{mal POSITIV GROSS UND IMMER NOCH GRÖSSER} \end{align}$ und was $\begin{align} - \frac{1}{10} \ \text{mal NEGATIV GROSS UND IMMER NOCH GRÖSSER} \end{align}$ ?
15.12.2018, 21:42	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze mal $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ beim ersten Fall (von rechts) und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ beim zweiten (von links), wenn du es schon so ausdrückst
15.12.2018, 21:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich hätte ich sagen müssen $\begin{align} \text{FAST} \ - \frac{1}{10} \ \text{UND IMMER WENIGER DAVON UNTERSCHEIDBAR MAL POSITIV GROSS UND IMMER NOCH GRÖSSER} \end{align}$ Deine Antworten stimmen.
15.12.2018, 21:51	Vinicius7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!!!

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