Beschränkter Realteil

15.12.2018, 19:24	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkter Realteil Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Warum ist eine auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} f=u +i v \end{eqnarray}$ , deren Realteil beschränkt ist konstant. Beweis: Wegen $\begin{eqnarray} \|e^{f(z)}\| =\|e^{u(z)}\| \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} z \rightarrow e^{f(z)} \end{eqnarray}$ eine ganze beschränkte Funktion und damit nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen der $\begin{eqnarray} 2 \pi i \end{eqnarray}$ -Periodizität der Expontentialfunktion gilt: $\begin{eqnarray} f( \mathbb C) \subset f(0) + 2 \pi i k \end{eqnarray}$ Warum gilt das, also wo kommt das $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ her?
16.12.2018, 15:26	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Funktion $\begin{eqnarray} z \mapsto e^{f(z)} \end{eqnarray}$ ist konstant, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} e^{f(z)} = e^{f(0)} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Die Stelle, an der du $\begin{eqnarray} e^f \end{eqnarray}$ auswertest, ist dabei willkürlich gewählt; du hättest genau so $\begin{eqnarray} e^{f(1)} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e^{f(i)} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{f(e^\pi + 5i)} \end{eqnarray}$ anstatt $\begin{eqnarray} e^{f(0)} \end{eqnarray}$ nehmen können (denn $\begin{eqnarray} z \mapsto e^{f(z)} \end{eqnarray}$ ist ja konstant!)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »