Logarithmengleichung

17.12.2018, 17:38

JG97

Logarithmengleichung

Wenn man sowas wie (-2)^x = 16 hat, wie löst man das nach x auf?

Edit (mY+): Du darfst "Logarithmengleichung" durchaus ausschreiben!

17.12.2018, 17:49

G171218

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RE: Logagleichung
(-2)^x = (-2)^4

Exponentenvergleich!

17.12.2018, 17:52

JG97

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RE: Logagleichung
Allgemein
das was du da machst geht nur bei 0815 Gleichungen

17.12.2018, 18:01

rumar

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RE: Logagleichung
Die vorliegende Gleichung gehört aber doch wohl zu dieser Sorte.

Aber ein wenig Vorsicht ist trotzdem geboten: Potenzen negativer Zahlen sind nur dann definiert, falls der Exponent ganzzahlig ist. Dies schränkt die mögliche Lösungsmenge von vornherein stark ein.

17.12.2018, 18:16

G171218

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RE: Logagleichung
Versuchs mal mit dem ln!

ln(-2)^x= ln16
...

Und schon hast du ein Problem! Augenzwinkern

17.12.2018, 18:52

JG97

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RE: Logagleichung

Zitat:

Original von G171218
Versuchs mal mit dem ln!

ln(-2)^x= ln16
...

Und schon hast du ein Problem! Augenzwinkern

was willst du sagen?

18.12.2018, 10:15

HAL 9000

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RE: Logagleichung
Man sollte sich erstmal drauf einigen, in welchem Zahlbereich wir hier diese Gleichung betrachten wollen. Da du die Gleichung im Schulbereich gepostet hast, werden es wohl nicht die komplexen, sondern allenfalls die reellen Zahlen sein. Damit muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schon mal ganzzahlig sein (wie rumar schon erwähnt hat), denn Potenzen $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ mit negativen Basen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sowie nichtganzzahligen Exponenten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind im Reellen nicht erklärt!

Nächster Schritt: Ist $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} a^x >0 \end{eqnarray*}$ für gerade $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^x < 0 \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Hier mit $\begin{eqnarray*} a=-2 \end{eqnarray*}$ sowie Ergebnis $\begin{eqnarray*} 16>0 \end{eqnarray*}$ muss demnach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gerade sein.

Mit dem entsprechenden Ansatz $\begin{eqnarray*} x=2n \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 16 = (-2)^x = (-2)^{2n} = \left((-2)^2\right)^n = 4^n \end{eqnarray*}$ .

Auf diese verbleibende Gleichung $\begin{eqnarray*} 16 = 4^n \end{eqnarray*}$ kann man nun die üblichen Techniken anwenden, sei es nun Exponentenvergleich oder Logarithmieren.

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Für Interessierte: Wie sähe die Lösung im Komplexen aus?

Logarithmieren ergibt (Unter ln verstehe ich hier den Hauptwert des komplexen Logarithmus)

$\begin{eqnarray*} x\ln(-2) = x(\ln(2)+\pi i) \stackrel{!}{=} \ln(16) + 2k\pi i = 4\ln(2)+2k\pi i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{4\ln(2)+2k\pi i}{\ln(2)+\pi i} = \frac{1}{(\ln(2))^2+\pi^2} \left( 4(\ln(2))^2+2k\pi^2 + 2(k-2)\ln(2)\pi i \right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Nur für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich die eine reelle Lösung $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ von oben, die anderen unendlich vielen Lösungen sind echt komplex.

19.12.2018, 08:47

JG97

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RE: Logagleichung
Perfekt wie immer smile

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Logarithmengleichung

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