Rechnen mit Differentialoperatoren

17.12.2018, 19:03

Mesut95

Rechnen mit Differentialoperatoren

Hallo alle zusammen ich habe bei der Bearbeitung meiner Aktuellen Aufgabe mir eine Frage gestellt und ich denke mir das ich das unter einem neuen Thread stellen sollte..

Es geht um das Rechnen mit Differentialoperatoren.
In der frage ist ein Ausdruck zu sehen das wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{1}}\frac{dx_{1}}{dt} + \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{2}}\frac{dx_{2}}{dt} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun kann ich dx1 und dx2 "kürzen" ? Normalerweise wäre ja das Wort kürzen hier falsch, weil wir hier ja ein Operator habe und kein Bruch aber geht das trotzdem?

Im internet habe ich etwas von der Kettenregel gelesen aber ich habe nicht so verstanden was damit gemeint ist.

Wenn das mit dem "kürzen" geht würde ich gerne mal wissen warum.

Mein Prof kriegt

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{1}}\frac{dx_{1}}{dt} + \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{2}}\frac{dx_{2}}{dt} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{d^2\gamma^1}{dt^2} \end{eqnarray*}$

ich kriege allerdings

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{1}}\frac{dx_{1}}{dt} + \frac{d(\frac{d}{dt} \gamma^{1} ) }{dx_{2}}\frac{dx_{2}}{dt} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2\frac{d^2\gamma^1}{dt^2} \end{eqnarray*}$

was ist richtig ?

PS: Ich hoffe diese Frage wird nicht als Doppelpost angesehen. Mein anderer Beitrag ist ja nämlich eine andere Frage. Falls es so ist tut es mir leid

17.12.2018, 19:13

Mesut95

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RE: Rechnen mit Differentialoperatoren
Ok das mit der Kettenregel hat sich erledigt, das habe ich verstanden.
Aber die zwei verschiedenen Ergebnisse verstehe ich noch nicht unglücklich

18.12.2018, 14:36

HLD

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Du kannst doch nicht einfach dx/dt lesen als "dx durch dt"...

Das ist doch kein Bruch, den man da kürzen kann, sondern ein Differential. Das Ergebnis deines Profs ist natürlich richtig, denn die Ableitung folgt der Kettenregel. Angenommen, du hast eine Funktion von 2 Variablen f=f(x,y). x und y sind nun zeitabhängig. x=x(t), y=y(t), dann ist die Änderung von f mit der Zeit doch
\dot f = \frac{\partial f}{\frac{x}\cdot \dot{x}+\frac{\partial f}{\frac{y}\cdot \dot{y}
oder?
Dein Prof liest also einfach die Kettenregel rückwärts.

18.12.2018, 14:52

Mesut95

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Hallo und danke für die Antwort.

Man kann dein Latex nicht lesen. Du muss das was du geschrieben hast in $\begin{eqnarray*} Dein Code \end{eqnarray*}$ einfügen.

Ich lese das ja auch nicht dx/dt als dx durch dt.

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dx^1}\frac{dx^1}{dt}+ \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dx^2}\frac{dx^2}{dt} \end{eqnarray*}$

hier wendet man nun die Kettenregel an und kommt auf

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dt}+ \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dt} \end{eqnarray*}$

aus dem folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{d^2\gamma^1 }{dt^2}+ \frac{d^2\gamma^1 }{dt^2} \end{eqnarray*}$

Wie rechnest du denn?

19.12.2018, 11:20

HLD

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Zitat:

Original von Mesut95

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dx^1}\frac{dx^1}{dt}+ \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dx^2}\frac{dx^2}{dt} \end{eqnarray*}$

hier wendet man nun die Kettenregel an und kommt auf

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dt}+ \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dt} \end{eqnarray*}$

Nein kommt man nicht, sondern auf

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{d}{dt}\gamma^1) }{dt} \end{eqnarray*}$

Die Summe oben ist doch die ausgeführte Kettenregel für eben jenen Ausdruck.

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