Funktionalgleichung iterativ lösen

18.12.2018, 13:58	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionalgleichung iterativ lösen Hallo an alle, meine Frage resultiert aus folgender Aufgabe heraus: a) Löse die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} L(z) = z(e^z-1)+2e^{\frac{z}{2}}L(\frac{z}{2}) \end{eqnarray}$ durch Iteration und lese aus der Lösung die Koeffizienten ab, um so mittels $\begin{eqnarray} L_n = n! [z^n]L(z) \end{eqnarray}$ die alternative Darstellung $\begin{eqnarray} [L_n = n \sum_{k \geq 0}[1-(1-\frac{1}{2^k})^{n-1}] \end{eqnarray}$ zu finden. (Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray} [z^n]L(z) \end{eqnarray}$ den Koeffizienten von $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ in der Reihendarstellung von L(z).) b) Wende dieses Vorgehen auch auf die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} S(z) = e^z - (1+z) + 2e^{\frac{z}{2}}S(\frac{z}{2}) \end{eqnarray}$ an, welche mittels $\begin{eqnarray} S_n = n! [z^n] S(z) \end{eqnarray}$ die folgende alternative Darstellung liefert: $\begin{eqnarray} S_n = \sum_{k \geq 0}[2^k[1-(1-\frac{1}{2^k})^n]-n(1-\frac{1}{2^k})^{n-1}] \end{eqnarray}$ . Ich habe bislang nur (einfache) lineare Rekursionen gelöst, daher weiß ich nicht, wie ich mit diesem $\begin{eqnarray} \frac{z}{2} \end{eqnarray}$ nun umzugehen habe. Sowohl die Betrachtung von L(2z) usw. als auch L(z+1) usw. habe ich schon ausprobiert, aber beide haben mich nicht ans Ziel geführt. Darum würde ich es sehr schätzen, wenn mir jemand erklären könnte, was man hier tun muss, um zur Lösung zu gelangen.
22.12.2018, 16:49	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Antwort ist nicht mehr notwendig, ich habe die Aufgabe inzwischen gelöst. (durch immer wieder einsetzen von S(z/2), S(z/4), S(z/8) usw. in die Formel von S(z), wodurch eine Formel ohne den Ausdruck S() entsteht)

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