Dualraum und Kronecker-Delta

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Colo Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum und Kronecker-Delta
Hallo,

ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe, die mir wohl etwas über die Basis von Dualräumen beibringen soll. Vermutlich ist sie ziemlich trivial, aber ich verstehe trotzdem nicht, wie ich sie lösen kann. Die Aufgabe:

Zitat:
Es seien die Einheitsvektoren in .

Zz: Es existieren eindeutig bestimmte lineare Abbildungen mit und


Mein "Ansatz":

Mit den Einheitsvektoren und kann ich jeden beliebigen Vektor darstellen:



Wenn eine lineare Abbildung sein soll, müsste gelten:



Also: Wenn eine lineare Abbildung wäre, müsste das die Lösung sein (Eine Suche bestätigt mir das auch). Aber wie könnte ich beginnen, um zu zeigen, dass sie eindeutig ist und existiert?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht ziemlich trivial sondern total trivial. Augenzwinkern
Eine lineare Abbildung ist immer eindeutig definiert, wenn man die Bilder der Basisvektoren vorgibt.
Colo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke... dann bin ich sogar für total trivial noch zu dumm. Hammer

Die Aufgabenstellung gibt die Bilder der Basisvektoren durch die Abbildung vor. Was soll ich dann zeigen?

Die Aufgabe gibt vergleichsweise viele Punkte bei uns. Ein bisschen Aufwand würde ich irgendwie erwarten...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für triviale Aufgaben gibt es nicht viele Punkte. Diese Aufgabe enthält falsche Formulierungen, vermutlich ist sie auch nicht vollständig wiedergegeben.
Colo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist sie definitiv nicht! Das einzige, was ich wegelassen habe, ist die Definition des Kronecker-Deltas (1 für i = j, ansonsten 0) und hier habe ich auch nicht aufgepasst:

Da steht:
Also ein Gleicheitszeichen statt dem Pfeil, den ich oben verwendet habe. Das sollte aber alles nichts ändern.
Colo Auf diesen Beitrag antworten »

Und das gehörte schon zur nächsten Aufgabe. Hier natürlich , sorry.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Somit sind die falschen Formulierungen erkannt und durch korrekte Formulierungen ersetzt worden. Es bleibt die Trivialität des Beweises festzustellen.

Behauptung: Sei die Standardbasis des . Dann existieren eindeutig bestimmte lineare Abbildungen mit .
Beweis: Trivial, da für zwei -Vektorräume und jede lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis von eindeutig bestimmt ist. qed.

Übrigens sieht die Matrixdarstellung so aus:
Colo Auf diesen Beitrag antworten »

Also fast so, als würde man ein Beweiskästchen direkt unter die Aufgabe malen. Dann hab ich wohl doch nichts übersehen oder komplett falsch verstanden. Vielleicht sind die vielen Punkte für die Aufgabe einfach ein verfrühtes Weihnachtsgeschenk, das ich nicht zu schätzen wusste.

Dankeschön jedenfalls, das beruhigt mich wieder etwas. Augenzwinkern
Sollte formal etwas großartig anderes verlangt worden sein, erfahr ich das in der Korrektur und schreib das hier ggf. noch rein. Falls nochmal jemand hier reinstolpert.
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