Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen

19.12.2018, 17:31	Saltydog	Auf diesen Beitrag antworten »
Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen Moin, ich würde mich freuen wenn mir jemand bei folgendem Problem weiterhelfen kann: Man zeige, dass das räumliche Kraftfeld $\begin{eqnarray} \vec{F} =r^{2} \cdot \vec{r} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r > 0 \end{eqnarray}$ konservativ ist. Wie lautet die zugehörige Potentialfunktion $\begin{eqnarray} \Phi( x; y; z ) \end{eqnarray}$ ? Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec{r} =\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=\|\vec{r} \|= \sqrt{x^{2}+y^{2} +z^{2} } \end{eqnarray}$ Mein Ansatz (Ich versuche mich so kurz wie möglich zu halten und so viel Info wie nötig unterzubringen): 1. Wegunabhängigkeit über Integrabilitätsbedingungen für räumliches Vektorfeld bestimmen Lösung: ja, Vektorfeld ist konservativ 2. Dadurch gilt: $\begin{eqnarray} \vec{F}=grad \Phi \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\Phi=F_{x}\Rightarrow\Phi=\int_{}^{} \! \vec{F_{x} } \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}\Phi=F_{y}\Rightarrow\Phi=\int_{}^{} \! \vec{F_{y} } \, dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial z}\Phi=F_{z}\Rightarrow\Phi=\int_{}^{} \! \vec{F_{z} } \, dz \end{eqnarray}$ 3. Jetzt bekomme ich 3 Lösungen mit 3 unterschiedlichen Konstanten raus: $\begin{eqnarray} \Phi=[...]+K_{1} (y;z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi=[...]+K_{2} (x;z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Phi=[...]+K_{3} (x;y) \end{eqnarray}$ Ich habe dann versucht $\begin{eqnarray} K_{1} (y;z) \end{eqnarray}$ zu bestimmen über: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}\Phi=F_{y}\Rightarrow\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x^{4} }{4}+\frac{x^{2}\cdot y^{2}}{b}+K_{1} (y;z) \right)= x^{2}\cdot y+y^{3} +y\cdot z^{2} <br /> \Rightarrow K_{1}' (y;z)=y^{3}+y\cdot z^{2} \end{eqnarray}$ Hier hab ich mir dann gedacht ich integriere beide Seiten nach y und z und erhalte dann: $\begin{eqnarray} K_{1} (y;z) = \frac{yz^{4} }{4}+\frac{yz^{3} }{6} +C \end{eqnarray}$ Wenn ich das jetzt wieder einsetze, erhalte ich für das Potentialfeld: $\begin{eqnarray} \Phi=\frac{x^{4} }{4} +\frac{x^{2}y^{2} }{2} +\frac{x^{2}z^{2} }{2}+\frac{y^{4}z }{2}+\frac{yz^{3} }{6}+C \end{eqnarray}$ Das ist falsch. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} \Phi=\frac{1}{4} \left(x^{2} +y^{2} +z^{2} \right) +C=\frac{1}{4} r^{4} +C \end{eqnarray}$ Ich schätze ich liege an der Stelle falsch wo ich K'1 nach y und z integriere oder? Was mache ich falsch? Gibt es einen einfacheren Weg das Potentialfeld zu bestimmen als über $\begin{eqnarray} \vec{F}=grad \Phi \end{eqnarray}$ ?
19.12.2018, 17:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen Berechne mal den Gradienten für das $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ , das du als Lösung angegeben hast. Bei mir kommt da $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \vec{r} \end{eqnarray}$ heraus. Edit: Ah, du hast ein Quadrat unterschlagen. Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}\Phi=F_{y}\Rightarrow\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x^{4} }{4}+\frac{x^{2}\cdot y^{2}}{b}+K_{1} (y;z) \right)= x^{2}\cdot y+y^{3} +y\cdot z^{2} \\ \end{eqnarray}$ also um genau zu sein auf den Ausdruck in der Klammer?
19.12.2018, 18:42	Saltydog	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen Ja das ist Mist, da ist mir beim schreiben mit dem Formeleditor wohl einiges abhanden gekommen. Was ich gemeint hatte war: da $\begin{eqnarray} \vec{F} =r^{2} \cdot \vec{r} \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} \vec{F_{x} } =x^{3}+xy^{2}+xz^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F_{y} } =y^{3}+yx^{2}+yz^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F_{z} } =z^{3}+zx^{2}+zy^{2} \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\Phi=F_{x}\Rightarrow\Phi=\int_{}^{} \! \vec{F_{x} } \, dx \end{eqnarray}$ ergibt sich dann $\begin{eqnarray} \Phi=\int_{}^{} \! \vec{F_{x} } \, dx = \frac{x^{4} }{4}+\frac{x^{2}y^{2} }{2} +\frac{x^{2}z^{2} }{2} +K_{1}(y;z) \end{eqnarray}$ Das setze ich dann ein in: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}\Phi=F_{y} \end{eqnarray}$ daraus erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} K_{1} (y;z) = \frac{yz^{4} }{4}+\frac{yz^{3} }{6} +C \end{eqnarray}$ Die angegebene Lösung ist aus dem Papula Band 3 (Abschnitt 7, Aufgabe 10) Wie gesagt, bis zu den Konstanten komme ich mit, nur bei der Bestimmung eben dieser kann mir weder die Formelsammlung noch Band 3 weiterhelfen.
19.12.2018, 19:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen Also ich bekomme zunächst $\begin{eqnarray} \frac{\partial K_1}{\partial y}=(y^2+z^2)y \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} K_1(y,z)=\frac{y^4}{4}+z^2\frac{y^2}{2}+K_2(z) \end{eqnarray}$
19.12.2018, 20:41	Saltydog	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen Hey danke URL, Also wenn ich das richtig verstehe, integriere ich $\begin{eqnarray} K_{1}' (y;z) \end{eqnarray}$ einmal nach y -da ich ja vorher auch einmal nach y abgeleitet habe- und erhalte dann: $\begin{eqnarray} K_1(y,z)=\frac{y^4}{4}+z^2\frac{y^2}{2}+K_2(z) \end{eqnarray}$ Daraus erhalte ich dann die Potentialfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} K(z) \end{eqnarray}$ Diese setze ich dann ein, in $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial z}\Phi=F_{z} \end{eqnarray}$ und erhalte über den üblichen Weg dann $\begin{eqnarray} K(z) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} r=(x^{2}+ y^{2}+ z^{2} )^{2} \end{eqnarray}$ erhalte ich dann $\begin{eqnarray} \Phi=\frac{1}{4}r^{4} \end{eqnarray}$ Vielen Dank!!!
19.12.2018, 20:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potentialfunktion aus konservativem Kraftfeld bestimmen So war der Plan. Deine ursprüngliche Konstante C kannst du auch weglassen, weil sie beim Gradienten ohnehin wegfällt. Leichter geht es übrigens, wenn man den Gradienten in Kugelkoordinaten kennt. Aber das ist eine andere Geschichte
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