Differenzenquotient für die zweite Ableitung

20.12.2018, 00:26	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenquotient für die zweite Ableitung Meine Frage: Hallo, könnte mir jemand helfen. Ich wäre sehr dankbar. Aufgabenstellung wäre folgendes: Sei f viermal stetig differenzierbar in (a, b) und h_0 so klein, dass [x_0 - h_0 , x_0 + h_0 ] $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ (a, b) für ein vorgegebenes x_0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ (a, b). Zeigen Sie mithilfe einer Taylorentwicklung von f mit Entwicklungspunkt x_0, dass $\begin{eqnarray} \| \frac{f(x_0 - h) -2f(x_0) + f(x_0 + h)}{h^{2} } - f^{\left(2\right) } \| \leq C h^{2} \end{eqnarray}$ für alle 0 < h $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ h_0 gilt wobei C = $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ max (x_0 - h $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x_0 +h) $\begin{eqnarray} \| f^{\left(4\right) } (x) \| \end{eqnarray}$ . Hinweis: Beachten Sie die Form des Taylorrests Meine Ideen: Ich habe erst Taylorentwicklung f(x_0 + h) 4.Grades gerechnet dann f(x_0 - h) auch 4.Grades und hier $\begin{eqnarray} \| \frac{f(x_0 - h) -2f(x_0) + f(x_0 + h)}{h^{2} } - f^{\left(2\right) } \| \leq C h^{2} \end{eqnarray}$ habe eingesetzt. Und viele Terme haben sich gekürzt und am Ende habe das hier bekommen $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{12} f^{\left(4\right) } (x_0)h + \frac{1}{3} f^{\left(3\right) } (x_0) }{h} \leq C \end{eqnarray}$ Aber ich verstehe nicht , was ich weiter machen kann . Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte..
20.12.2018, 17:23	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzenquotient für die zweite Ableitung Hallo, ich vermute, Du hast bei den Termen mit der dritten Ableitung nicht berücksichtigt, dass Du einmal $\begin{eqnarray} h^3 \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} (-h)^3 \end{eqnarray}$ erhältst, so dass diese Terme sich wegheben. Gruß pwm
10.01.2019, 22:16	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzenquotient für die zweite Ableitung ja, vielen Dank

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