20-stellige Zahlen durch 11 teilbar

25.12.2018, 11:36	JensD	Auf diesen Beitrag antworten »
20-stellige Zahlen durch 11 teilbar Meine Frage: Hallo Mathe-Gemeinde, hier ein Mathe-Rätsel das ich gestern bekommen habe: Ich soll alle 20-stelligen Zahlen nennen, die durch 11 teilbar sind. Dabei sollen die Ziffern 0-9 jeweils 2 mal vorkommen: z.B. 10012233445566778899 Meine Ideen: die Zahl 10012233445566778899 ist durch 11 teilbar, weil die alternierende Quersumme 0 ergibt: 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 45-45 = 0 damit durch 11 teilbar.
27.12.2018, 10:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es aber noch mehr, zum Beispiel 88346943720017519526 (Quersumme=0) 65768344810923519072 (Quersumme=22) 97163753850446292108 (Quersumme=-22) 94523170918260735486 (Quersumme=44) 19280407296634573815 (Quersumme=-44)
28.12.2018, 16:38	Pythagoras123	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Zahl ist teilbar durch 11, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Damit wären alle genannten Beispiele durch 11 teilbar. @JensD: Bist du dir sicher, dass du alle Zahlen nennen sollst, die durch 11 teilbar sind und jede Ziffer 2x enthalten? Das hört sich für mich nach SEHR vielen Zahlen an.
28.12.2018, 17:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
"nennen" kann ja auch bedeuten, eine Konstruktionsbeschreibung für die gesuchten Zahlen zu geben. So ist zum Beispiel klar, daß eine Permutation der Ziffern mit gleichem Vorzeichen in der alternierenden Quersumme die Teilbarkeit durch 11 nicht beeinflußt. Ebenso ein kompletter Tausch der beiden Gruppen. Man könnte so beginnen: Ist $\begin{align} a \end{align}$ die Ziffernsumme der ersten, dritten, fünften usw. Ziffer und $\begin{align} b \end{align}$ die Ziffernsumme der zweiten, vierten, sechsten usw. Ziffer, dann müssen $\begin{align} a,b \end{align}$ Lösungen der linearen Gleichungssysteme $\begin{align} L_v: \ \begin{cases} \ a+b = 90 \\ \ a-b = v \end{cases} \end{align}$ mit $\begin{align} v \in \left\{ 0, \pm 22, \pm 44 \right\} \end{align}$ sein (man kann sich leicht überlegen, warum für $\begin{align} v \end{align}$ ungeradzahlige Vielfache von 11 nicht möglich sind und bei $\begin{align} \pm 44 \end{align}$ Schluß ist.). Dann sieht man weiter.
29.12.2018, 12:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht heißt "nennen" auch einfach nur, die Anzahl dieser Zahlen bestimmen. Auch das ist noch reichlich Arbeit: Leopold hat den Anfang genannt, dann muss man man sich kombinatorisch um die Zifferngruppen kümmern, die zu solchen Teilsummen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ führen. Und um das ganze noch weiter zu verkomplizieren muss man auch noch berücksichtigen, dass für echt 20-stellige Zahlen keine führenden Nullen zugelassen sind.

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