Grenzwert einer rekursiven exp-Folge

27.12.2018, 19:07

Outtaspace

Grenzwert einer rekursiven exp-Folge

Hey,

habe eine Aufgabe, die ich mir gerade nochmal anschaue, wobei mir eben ein Schritt noch etwas unklar ist. Würde mich freuen, wenn hier jemand etwas Klarheit noch reinbringen könnte smile

Also erstmal vorab x_n ist hier eine Nullfolge, die niemals Null wird und man soll den Grenzwert zeigen. Das ist die Folge mit den Umformungsschritten die ich soweit schon mal verstanden habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n^2}\left[exp(x_n)-1-x_n\right]=\frac{1}{x_n^2}\left[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x_n^k}{k!}-1-x_n \right]=\frac{1}{x_n^2}\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{x_n^k}{k!}=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{x_n^{k-2}}{k!}=\frac{1}{2}+ \sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-2}}{k!}=\frac{1}{2}+x_n\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} \end{eqnarray*}$
Jetzt kommt der Teil, der mir noch etwas unklar ist. Da nun x_n eine Nullfolge ist kann das Konvergenzkriterium angewandt werden.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0\exists N\in \mathbb N \forall n\geq N:| x_n | < min(1,\frac{\epsilon}{e}) \end{eqnarray*}$
Soweit so gut.
Damit gilt dann anscheinend:
$\begin{eqnarray*} | x_n\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} | =(oder < evtl?) \frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1^{k-3}}{k!}<\frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{\epsilon}{e}e=\epsilon \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ Also das Ganze konvergiert damit dann gegen 1/2.

Das erste = könnte auch ein Rechtschreibfehler sein. Meine Notizen sind da etwas unklar und er hat den Schritt an der Tafel nicht ganz so ausführlich hingeschrieben.

Okay ich glaube, während dem Abtippen die Aufgabe schon etwas verstanden zu haben... Ich werde einfach mal mitteilen, wie ich glaube, dass es Sinn machen könnte und ihr könnt mich ja verbessern, falls meine Vermutung falsch ist.
Was mich eben am meisten verwirrt hat, ist, dass er einfach 1 einsetzt und für das andere $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{e} \end{eqnarray*}$ . Durch das Konvergenzkriterium da x_n eine Nullfolge ist gilt eben dass x_n immer kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{e} \end{eqnarray*}$ ist. Nun ist es so, dadurch, dass x_n eine Nullfolge ist kann ich die Summe mit einer 1 nach oben abschätzen, da sich durch dieses abschätzen nützlicherweise eben e als Zahl ergibt. Etwas verwirrend finde ich dabei eben, dass ich ja nicht weiß, welche Folge x_n ist. Sie könnte ja auch aus dem unendlichen kommen und dann würde ich eine Abschätzung mit 1 nach oben etwas merkwürdig finden. Oder gehe ich bei diesem Ansatz schon von vornherein davon aus, dass das ganze Zusammen eine Nullfolge ist? Normalerweise müsste ich ja den Wert im Betrag vom Grenzwert abziehen.

Also $\begin{eqnarray*} | x_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} - 0 | \end{eqnarray*}$

was natürlich auch weggelassen werden kann. Aber wie kann ich von vornherein davon ausgehen, dass es eine Nullfolge ist? Ich weiß ja nicht genau wie schnell steigend $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} \end{eqnarray*}$ ist. Naja so ganz habe ich es doch noch nciht verstanden... Vllt weiß ja jemand weiter geschockt

Liebe Grüße,

Felix

27.12.2018, 19:12

Outtaspace

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Hm ich glaube, dadurch, dass x_n einfach eine Nullfolge ist heißt, es nun, dass die Summe einen festen Grenzwert hat und ein fester Grenzwert mal eine Nullfolge ist einfach wieder eine Nullfolge. Das könnte vllt hinkommen Big Laugh

02.01.2019, 21:10

Dustin

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RE: Grenzwert einer rekursiven exp Folge, Verstehe einen Schritt nicht
Hallo Felix,
so wie du den Beweis aufgeschrieben hast, ist er tatsächlich etwas unsauber formuliert.
Speziell dieser Teil...

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0\exists N\in \mathbb N \forall n\geq N:| x_n | < min(1,\frac{\epsilon}{e}) \end{eqnarray*}$
Soweit so gut.
Damit gilt dann anscheinend:
$\begin{eqnarray*} | x_n\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} | =(oder < evtl?) \frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1^{k-3}}{k!}<\frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k!}=\frac{\epsilon}{e}e=\epsilon \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ Also das Ganze konvergiert damit dann gegen 1/2.

...sollte besser so lauten:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \exists N\in \mathbb N \forall n\geq N:| x_n | < min(1,\frac{\epsilon}{e}) \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall n \geq N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} | x_n\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} | < \frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1^{k-3}}{k!}=\frac{\epsilon}{e}\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k!}<\frac{\epsilon}{e}e=\epsilon \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_n\sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{x_n^{k-3}}{k!} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
An der Stelle mit dem ersten Ungleichheitszeichen wird ausgenutzt, dass sowohl $\begin{eqnarray*} |x_n|<\frac{\epsilon} e \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} |x_n|<1 \end{eqnarray*}$ gilt. Dies ist erlaubt, da ja das $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gerade so gewählt wurde.
Dein Argument, dass die Nullfolge x_n ja auch aus dem Unendlichen kommen könnte, wird in meiner Version dadurch entkräftet, dass die ganze Rechnung nur für n>N gelten soll.
LG Dustin

03.01.2019, 17:49

Outtaspace

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ok super vielen dank macht so schon mehr sinn!

06.01.2019, 03:17

Dustin

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Gern geschehen! smile

Wenn dir noch was unklar ist, hau raus, dann klären wir das auch noch.
LG

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