Aussagen im Hilbertraum

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Aussagen im Hilbertraum
Frohe Weihnachten gehabt zu haben Big Laugh (gab's nicht mal einen Smiley mit Nikolausmütze verwirrt )

Ich sitze an:
[attach]48640[/attach]

zu a)
"=>"

Soweit so gut.
Für "<=" dachte ich, vielleicht so zurückzugehen:
.

Aber da kann ich nicht darauf schließen, dass es für alle x,y gilt, richtig?
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RE: Aussagen im Hilbertraum
Betrachte statt
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RE: Aussagen im Hilbertraum
Zitat:
Original von URL
Betrachte statt


.

Ok, da bin ich ja fast da wo hin ich will, aber der Realteil macht mir nun noch einen Strich durch die Rechnung, oder nicht?
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RE: Aussagen im Hilbertraum
Dann spiel halt mal ein bisschen herum Big Laugh
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RE: Aussagen im Hilbertraum
Zitat:
Original von URL
Dann spiel halt mal ein bisschen herum Big Laugh


Ja leider scheitert es genau an sowas, siehe Frage unten.
Du kannst mir gerne sagen wie ich weitermachen kann, musst du aber nicht.
Aber:
Wie bist du auf den Ansatz gekommen, x+y zu betrachten?
Ich will das ja auch können und meinen Verstand trainieren. Aber wie kann ich sehen, dass ich genau das machen muss? Es gibt ja schließlich viele Möglichkeiten.
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RE: Aussagen im Hilbertraum
Solche Ansätze sieht man mal in Büchern oder Vorlesungen - und probiert sie selber mal aus Big Laugh
Und wenn man einen Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z sucht, wirft man einen Blick auf Re(iz)
 
 
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Re(iz) = -Im(z)
aber darauf willst du sicher nicht hinaus.
Also:

Sorry aber das erscheint mir sehr abwegig, ich habe deinen Tipp sicher falsch verstanden.
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Darauf wollte ich schon hinaus. Ich habe das Gefühl, du gibst da ein bisschen zu schnell auf:
. Im vorletzten Gleichheitszeichen steckt das drin, was du schon gezeigt hast.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Darauf wollte ich schon hinaus. Ich habe das Gefühl, du gibst da ein bisschen zu schnell auf:
. Im vorletzten Gleichheitszeichen steckt das drin, was du schon gezeigt hast.


.
Ah ok, ja da bin ich ja am Ziel.
Ja, danke.

und zum schnell aufgeben: Ja, mittlerweile schon. Gerade in diesem Fach Big Laugh
Aber abgesehen davon macht Mathe an unserer Uni (Bayern) keinen Spaß mehr. Die PO hat nichts mit Lernen zu tun. Zuwenig Punkte->Exmatrikulation.
Das ist als hätte man jeden der sich am Großen Satz von Fermat probiert hat, geköpft, bis auf Andrew Wiles.
Entschuldigung, das hat nun...
Ich merke das ich abschweife Big Laugh

Ja danke nochmal, ich schaue gleich bzw morgen bei b) und c) wäre schön wenn du dann nochmal reinschneist Augenzwinkern
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Hm, also dein letztes Gleichheitszeichen ist falsch. Wo studierst du denn? Die Punkte zeigen vermutlich, wie viele Aufgaben du korrekt gelöst hast und das Lösen von Aufgaben ist, für mich jedenfalls, integraler Bestandteil des Lernens von Mathematik.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine damit ECTS-Punkte.

Oh, hab ich mich vertan? So ein mist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, (b) bricht mir auch das Genick Big Laugh

Ich muss die drei Gruppenaxiome nachweisen.

A1)
Existenz eines neutralen Elementes
Wähle ich nun also die Identität I:
I ist unitär, denn (Ix|Iy) = (x|y), also

A2)
Existenz eines Inversen

Hier geht es nun los.
Ich suche also einen Operator , sodass:
Wie muss da mein Denkansatz lauten?

Edit: Achso, das ist ja der Adjungierte.
Jetzt muss ich also prüfen ob U* in der gruppe ist?
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ja, muss in der Gruppe sein
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber da unitär und damit ohnehin in der Gruppe, oder?

Ich weiß, dass ich sehr kleinschrittig frage. Ich möchte hier aber anmerken, dass ich mir trotzdem Gedanken gemacht habe über meine Frage und keine lösung vorgekaut haben möchte. Das ist meine Art zu lernen, ich hoffe dass trifft auch den Foren-Spirit.
Für eure Hilfe jedenfalls hier mal vielen Dank :-*
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Ich sehe noch keine Begründung, warum U* unitär sein soll. Erläutere das doch bitte. Welche Eigenschaft oder Definition von unitär benutzt du?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das mache ich wie folgt:
.
Also: ebenfalls unitär
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ich sehe ein paar Ungenauigkeiten aber gehe mal davon aus, dass das Flüchtigkeitsfehler sind und du weißt, was du tust. Die wesentliche Aussage für den Teil ist jedenfalls
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
ich sehe ein paar Ungenauigkeiten aber gehe mal davon aus, dass das Flüchtigkeitsfehler sind und du weißt, was du tust. Die wesentliche Aussage für den Teil ist jedenfalls


Ich war mir eigentlich sogar sehr sicher bei der Ausführung und habe auch gerade nochmal drübergeschaut. Wo genau hakst du ein, URL?
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Die erste Äquivalenz ist für mich die Eigenschaft, dass U unitär ist, nicht U*. Flüchtigkeitsfehler?
Aus folgt aber bei dir ist da gleich . Das ist richtig, aber ich bin mir nicht sicher, ob dir der Unterschied überhaupt aufgefallen ist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da hast du völlig Recht, das sind Flüchtigkeitsfehler, die ich aber einsehe und behebe Augenzwinkern
Gut, nun bleibt mir noch die Assoziativität zu zeigen. Allerdings hatten wir in der Vorlesung schon gezeigt, dass Operatorkomposition assoziativ ist, was ja hier ebenfalls zum Tragen kommt.

Nun bleibt mir dann noch die (c). Da tue ich mir wieder sehr schwer.
Nach unserer Definition müsste ich doch nun zeigen, dass und
Ist der Ansatz zielführend?
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Ich würde mir zuerst überlegen, dass V ein abgeschlossener Unterraum ist.
Setze und zeige , und für alle ist . Damit ist dann die orthogonale Projektion auf
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das klappt nun gar nicht Big Laugh

Wie ist der Ansatz für P*=P zu wählen, also wie bestimme ich denn P*? Ich verstehe das einfach nicht :'(

Naja, hier meine Ideen für den zweiten teil:

und damit in V ?
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Bleiben wir mal bei P*=P. Du kennst doch bestimmt Regeln zur Berechnung von und wenn und . Die wendest du auf P an und bedenkst, dass du es mit unitären Operatoren zu tun hast.

Die Aufgabe finde ich übrigens nicht einfach Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß:
und

Idee!

Sei

Das geht, da und .
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Also die Gleichung für P* stimmt schon mal, allerdings ist mir deine Begründung unklar. Warum sollte das gelten?
Ich hätte argumentiert, dass und weil man über alle Elemente der Gruppe G summiert, ist
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist denn nicht ?
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Warum sollte das gelten?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Die Identität ist doch selbstinvers?
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Das stimmt schon. Aber warum sollte sein? Und das auch noch für alle ?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Das stimmt schon. Aber warum sollte sein? Und das auch noch für alle ?


Aber da steht doch , was ist denn das nur? traurig
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Für ist , so ist V gerade definiert. Eingeschränkt auf den Untervektorraum V ist also wirklich , aber auf ganz sieht das anders aus.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Schreck lass nach.
Dann stimmt ja meine Rechnung für Py auch nicht...

Ok, hier mein neuer Ansatz.
...
Das war's.

Big Laugh sorry ich kann nicht mehr.
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Für muss man, nach Definition von V, zeigen, dass für jedes . Es ist , wieder weil man über alle Elemente der Gruppe G summiert. Der Ausdruck auf der rechten Seite ist wieder Py.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

ok zumindest die Rechnung hab ich nachvollzogen, bleibt .
also y-Py ist ja:
, womit ich mich elegant im Kreis gedreht habe.

Die Rechnung alle, ok, aber was machen wir jetzt genau?
Also ich hab gezeigt P=P* und jetzt die beiden, was hat das mit der Abgeschlossenheit zu tun und mit der Orth?
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Die orthogonale Projektion von y auf den abgeschlossenen Unterraum V liefert einem doch die Bestapproximierende an y in V, d.h. den Punkt , der den kleinsten Abstand von y hat. u ist eindeutig bestimmt und charakterisiert durch die Eigenschaft (und heißt in Anlehnung an die Verhältnisse in der Elementargeometrie auch der Lotfußpunkt).
Wenn wir also zeigen können, dass und , dann muss und damit eben die orthogonale Projektion auf V sein.
Um zu zeigen, kann man das Innenprodukt für betrachten, und sich an die Definition von V erinnern.
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Edit: Hier stand Mist
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

<y-Py,v> = <y,v> - <Py,v>
Jetzt ist aber .
Also <y,x> - <Py,x>.
Aber jetzt habe ich ja nur einen Buchstaben durch einen anderen ersetzt, also wieder mal Richtung Holzweg.
Aber ich lese keine andere Information aus V?
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Es gilt doch sogar . Also ist auch für alle . Damit . Das letzte Gleichheitszeichen darfst du begründen Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Weil wir P*=P gezeigt haben Hammer
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Dann steht da . Warum ist das Null?
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