Lineare Algebra, direkte Summe

29.12.2018, 17:34

Belli

Lineare Algebra, direkte Summe

Meine Frage:
Hey, es geht um folgende Aufgabe:

Zeige, dass die folgenden Aussagen für Unterräume U1,...,Un eines K-Vektorraums V äquivalent
sind:
(a) V =U1?···?Un;
(b) V =U1+···+Un und Ui verwirrt

U1+···+Ui?1+Ui+1+···+Un)={0}für alle i=1,...,n.

Meine Ideen:
Mein Problem ist überhaupt mal einen Ansatz zu finden bei dieser Aufgabe. Ich verstehe die direkte Summe nicht wirklich. Kann mir jemand helfen und mir Tipps geben? Das wäre super lieb!

29.12.2018, 17:40

Belli

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RE: Lineare Algebra, direkte Summe
Irgendwie hat das Programm nicht alle Zeichen korrekt übernommen.
Die Fragezeichen in a) sollen die Zeichen für direkte Summe sein (also ein Plus im Kreis). Bei der b) ist der Emoji ein geschnitten Zeichen und das Fragezeichen ein Minus. Tut mir leid. Gruß, Belli

29.12.2018, 17:47

Elvis

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RE: Lineare Algebra, direkte Summe

Zitat:

Original von Belli

Zeige, dass die folgenden Aussagen für Unterräume $\begin{eqnarray*} U_1,...,U_n \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ äquivalent
sind:
(a) $\begin{eqnarray*} V =U_1\oplus ... \oplus U_n \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} V =U_1+...+U_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_i\cap(U_1+...+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_n)=\{0\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ .

Ist das nicht nur die Definition der direkten Summe ? Wenn nicht, schreibe bei a) die Definition hin und beweise die Äquivalenz zu b). Summe=Summe ist trivial, der Rest ist Mengenlehre (wann sind zwei Mengen gleich ?).

30.12.2018, 13:01

Belli

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RE: Lineare Algebra, direkte Summe
Ja, das ist die Definition.
Zwei Mengen sind gleich, wenn die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge gleich sind, oder?
Und vielen Dank für die Antwort, sie hat mir schon einmal etwas weitergeholfen!

30.12.2018, 13:48

Elvis

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Das kann aber in dieser Aufgabe nicht die Definition der direkten Summe sein. Die Definition der direkten Summe sollst du unter a) aufschreiben. Sinn der Aufgabe kann nur sein, die Definition in a) mit der Definition in b) zu vergleichen. Das macht man dann durch Anwendung der Mengenlehre.
Nein, $\begin{eqnarray*} A\cap B\wedge A\cup B\Leftrightarrow B\cap A\wedge B\cup A \end{eqnarray*}$ gilt immer, das kann nicht $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ begründen. $\begin{eqnarray*} A=B \Leftrightarrow A\cap B=A\cup B \end{eqnarray*}$ stimmt zwar, ist aber nicht wirklich hifreich. 2 Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Sie sind genau dann gleich, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen Menge enthalten ist und umgekehrt. Sie sind genau dann gleich, wenn die gegenseitige Teilmengenrelation gilt.

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