Gewöhnliche Differentialgleichung

03.01.2019, 17:16	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichung Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Berechnen Sie alle Lösungen von $\begin{eqnarray} x'(t)=\sqrt{1-x(t)^{2} } \end{eqnarray}$ . Als Hinweis ist gegeben, dass alle Lösungen von R nach [-1,1] gehen. Meine Ideen: Man sieht relativ schnell, dass x(t)=1 und x(t)=sin(t) Lösungen sind, doch wie kann ich zeigen, dass das die einzigen sind oder noch weitere berechnen?
04.01.2019, 01:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt tatsächlich noch weitere Lösungen und dabei ist x(t) = 1 nur eine spezielle Lösung. Daher solltest du diese Differentialgleichung allgemein mittels Trennung der Variablen lösen: $\begin{eqnarray} \int \frac {\dd x}{\sqrt{1-x^2}}= \int \dd t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \arcsin x = t + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t) = \sin (t + c) \end{eqnarray}$ ------------------------- Die Lösung $\begin{eqnarray} x(t) = 1 \end{eqnarray}$ stellt sich bei einem bestimmten $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ein. Wie ist dieses zu berechnen? mY+
04.01.2019, 09:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier gibt es einiges aufzuarbeiten. Zunächst muss man sich folgendes klarmachen: $\begin{eqnarray} x(t)=\sin(t+c) \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ mag eine Lösung von $\begin{eqnarray} x'^2 = 1-x^2 \end{eqnarray}$ sein, aber es ist keine Lösung der DGL $\begin{eqnarray} x' = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ ! Die rechte DGL-Seite $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ ist stets nichtnegativ, somit muss (!) jede Lösung $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ monoton wachsend sein. Die in jeder Funktion $\begin{eqnarray} \sin(t+c) \end{eqnarray}$ auftretenden monoton fallenden Intervalle passen nicht zu dieser Forderung. Wie sehen also mögliche Lösungsfunktionen aus? Neben den beiden Konstantfunktionen $\begin{eqnarray} x(t)=1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x(t)=-1 \end{eqnarray}$ ist hier nur folgende weitere Lösung möglich: Die Funktion kommt von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ her mit Konstantwert -1, daran schließt sich (natürlich stetig differenzierbar) ein Intervall mit monoton wachsenden $\begin{eqnarray} \sin(t+c) \end{eqnarray}$ an, an dessen Ende die Funktion in den Konstantwert 1 übergeht. Das ganze könnte man so parametrieren: Sei $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ die Stelle, wo erstmals Funktionswert 1 erreicht wird, dann hat die zugehörige Lösungsfunktion die Gestalt $\begin{eqnarray} x(t) = \begin{cases} -1 &\;\mbox{für}\; t<t_1-\pi\\ \cos(t-t_1) &\;\mbox{für}\; t_1-\pi\leq t\leq t_1\\ 1 &\;\mbox{für}\; t>t_1\end{cases} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion ist tatsächlich stetig differenzierbar, auch an den Intervall-Übergangspunkten $\begin{eqnarray} t_1-\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x'(t) = \begin{cases} -\sin(t-t_1) &\;\mbox{für}\; t_1-\pi\leq t\leq t_1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ .
04.01.2019, 18:17	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich verstehe deine Begründung, aber woher kommt auf einmal der cosinus? Wenn ich den in die DGL einsetze erhalte ich doch den sinus und nicht -sinus wie durch die Ableitung?
04.01.2019, 18:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kosinusfunktion ist doch auch nichts weiter als eine argumentverschobene Sinusfunktion: $\begin{eqnarray} \cos(t)=\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray}$ . Insofern ist dein "aber" unangebracht.

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