Cauchy-Produkt

03.01.2019, 19:13	cauchy19	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Produkt Hallo Zu berechnen ist für alle z aus den komplexen Zahlen mit \|z\|<1 die komplexe Zahl $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot z^n \end{eqnarray}$ Meine Idee: Mittels geometrischer Reihe und Cauchy-Produkt folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-z)^2}=\frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} z^k \cdot z^{n-k}=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} z^n=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \cdot z^n=\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot z^{n-1}=\frac{1}{z} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot z^n \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann mit $\begin{eqnarray} z \neq 0 \end{eqnarray}$ direkt $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot z^n=\frac{z}{(1-z)^2} \end{eqnarray}$ Ist das so in Ordnung oder habe ich mich irgendwo vertan ?
03.01.2019, 19:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty z^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ hast du schon nachgewiesen bzw. setzt du als bekannt voraus? Als Alternative geht es auch mit differenzieren.
03.01.2019, 20:04	cauchy19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, die absolute Konvergenz für die geometrische Reihe wurde in der Vorlesung bereits nachgewiesen. Den Weg mittels Ableiten hatte ich auch mal gesehen. Geht evtl etwas schneller, war aber in der Vorlesung noch nicht dran. Danke fürs Drüberschauen.

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