Kov.Ab. in LK

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Kov.Ab. in LK
Meine Frage:
Hey die Kovariante Ableitung in Lokalen Koordinaten berechnet sich aus:


mit . Ich wollte mir mal dazu ein Beispiel ausdenken und das ausrechnen.


Meine Ideen:
Sei F die parametriserung des (Katenoids? oder auch was anderes?)
Weiterhin sei das Vektorfeld bzgl. der Tangentailbasis gegeben



mit und .

Ich weiß nicht ob ich auf etwas achten muss wenn ich die xi^s wähle.. macht es Sinn das Beispiel so zu berechnen ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Jemand ne Ahnung ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Der Index j hat gefehlt:
Zitat:



Sonst ist alles richtig. Die Komponentenfunktionen sollten nur hinreichend differenzierbar sein, auf mehr muss man da nicht achten.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Super danke dir für den Hinweis!smile

Ich nehme mal jetzt das Katenoid als Beispiel.


Die Parametrisierung des Katenoids ist:



Nun berechnen wir die ersten partiellen Ableitungen



und

und somit folgt

bzw. .


So nun berechne ich zu der Metrik die Christoffelsymbole:




und Analog










Wenn nun c(t)=(1,0) (geht das?) Wie soll ich c(t) wählen am besten
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Mit F^-1 ist die Umkehrfunktion des Katenoids gemeint oder ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Wie soll ich die Umkehrfunktion von F berechnen. verwirrt Ich kriege dann ein Nicht lineares Gleichungssystem verwirrt
 
 
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Wenn wir das GS aufstellen

Cosh(u1)cos(u2)=y1
Cosh(u1)sin(u2)=y2
u1=y3 ,

gibt es kein u2 was beide gleichungen erfüllt. Also existiert die Umkehrfkt nicht was nun? F war doch bijektiv vorausgesetzt verwirrt
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Ich habe eine Idee und muss die jetzt mal aufschreiben.





Daraus folgt



Wenn c nun unsere Kurve mit c=(Cos(t), sin(t),0)^T dann gilt



Also muss sein und wir brauchen nicht mehr die Umkehrfunktion von F zu bestimmen.

Das ist doch toll sag bitte das es richtig ist Big Laugh
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Also die kurve war nicht gut gewählt man kriegt da für den Korrekturterm nichts raus.

Ich mache weiter ab mein Beitrag um 22:37.
Mir ist ein Fehler passiert

es sollte sein.

So wir wählen nun

dann folgt aus



also

also muss sein.

Sei nun das Vektorfeld bzgl. der Tangentibasis dargestellt



so folgt für die Kovariante Ableitung





das sollte doch stimmen oder ? Stimmt das?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kov.Ab. in LK
Noch da ?
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