Galoisgruppe von Polynom bestimmen |
| 05.01.2019, 12:29 | leai14 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Galoisgruppe von Polynom bestimmen Bestimme Gal(f) von f(x)=(x^3 -2)(x^2-3) in Q[X]. Meine Ideen: Ich bin mit dem Thema noch nicht wirklich vertraut, weiß aber jedenfalls schonmal dass ich die Nullstellen und auch eventuell Irreduzibilität brauche, aber nicht wie es dann weiter geht oder was Grundsätzlich zu machen ist(Automorphismen finden)? |
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| 05.01.2019, 12:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Galoisgruppe eines quadratischen Polynoms musst du kennen. Die Galoisgruppe eines kubischen Polynoms kann nur A3 oder S3 sein. Nachdem du die Nullstellen von x^3-2 berechnet hast, fällt dir die Auswahl sicher leicht. Wie man Gruppen- und Körperverbände kombiniert, hast du in der Vorlesung über Galoistheorie gehört. |
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| 05.01.2019, 14:04 | leai14 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Thema ist ganz neu. Ich kenne weder die Galoisgruppe eines quadratischen Polynoms, noch die Kombination von Gruppenverbänden. Wir haben in diesem bisher sehr kurzen Thema nur noch Sätze über Normalität und Separabilität. |
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| 05.01.2019, 18:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nur normal und separabel reicht nicht, galoissch=normal+separabel. So kommt man zur Galoistheorie von Körpern, wobei . Danach beweist man mit dem Hauptsatz der Galoistheorie den Verbandsantiisomorphismus . Dann muss man noch die Galoisgruppe eines Polynoms definieren bevor man solche Aufgaben lösen kann. Selbst wenn man alles verstanden hätte, wäre die Aufgabe im allgemeinen nicht leicht. Die Galoisgruppe eines Polynoms vertauscht Wurzeln des Polynoms und ist dadurch vollständig bestimmt. Wenn sie alle 5 Wurzeln des Polynoms vom Grad 5 vertauschen würde, wäre Gal(f)=S5 die volle Permutationsgruppe. So einfach ist es aber nicht. Die Wurzeln der irreduziblen Teiler werden nur jeweils untereinander vertauscht. Wenn du das verstanden hast, kennst du nun die Galoisgruppe Gal(x^2-3) des quadratischen Polynomns x^2-3 und darfst über Gal(x^3-2) nachdenken. Der Hauptsatz macht sozusagen den Rest der Arbeit. |
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