Ruhelage eines Systems

05.01.2019, 13:03	konrad1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ruhelage eines Systems Hallo, ich habe ein System zweier Differentialgleichungen: $\begin{eqnarray} <br /> a'(t)=-a(t)b(t)<br /> b'(t)=1-b^2(t)<br /> \end{eqnarray}$ Ich möchte die Ruhelagen des Systems bestimmen, ihre Stabilität und ihren Typ, und zudem herausfinden für welche Anfangswerte (a(0),b(0)) die Lösungen für t gegen unendlich beschränkt sind. Das Beste was ich im Skript finden konnte ist die Aussage dass an einer Ruhelage zB a'=0 gilt. Wars das? Soll ich die zweite Gleichung 0 setzen, b berechnen, in die erste Einsetzen und a berechnen? Die zweite Ableitung ist 0 wenn b(t) = +-1 und damit die Erste dann 0 wird muss a(t)=0 sein. Vielen Dank im Voraus! LG Konrad
05.01.2019, 18:45	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \Phi\colon T\times X\to X \end{eqnarray}$ ein dynamisches System. Dann heißt ein Zustand $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ Ruhelage von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \Phi(t,x)=x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\in T \end{eqnarray}$ gilt. Vorgelegt ist die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} x'(t)=f(t,x(t)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(t) = \begin{bmatrix}a(t) \\ b(t)\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(t,x(t)) = \begin{bmatrix}-a(t)b(t) \\ 1-b(t)^2\end{bmatrix}. \end{eqnarray}$ Die Lösung $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ soll gemäß $\begin{eqnarray} \Phi(t,x_0)=x(t) \end{eqnarray}$ ein dynamisches System bilden, wobei $\begin{eqnarray} x_0=x(0) \end{eqnarray}$ der Anfangszustand ist. Ist nun $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ eine Ruhelage, dann gilt $\begin{eqnarray} \Phi(t,x_0)=x_0 \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,x_0) = 0. \end{eqnarray}$ Setzt man $\begin{eqnarray} \Phi(t,x_0)=x(t) \end{eqnarray}$ ein, dann ergibt sich $\begin{eqnarray} 0=x'(t)=f(t,x(t)) \end{eqnarray}$ als notwendige Bedingung. Die Bedingung ist auch hinreichend, weil $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 \end{eqnarray}$ die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems $\begin{eqnarray} x'(t)=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x(0)=x_0 \end{eqnarray}$ ist. Demnach muss $\begin{eqnarray} 0=-a(t)b(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0=1-b(t)^2 \end{eqnarray}$ sein.
05.01.2019, 21:01	konrad1a	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das ist an den Stellen (0,1) und (0,-1) der Fall. Nach den anderen Prüfungen hätte ich irgendwie etwas ärgeres erwartet. Lg und danke Konrad

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