cos(2x) als Sinus darstellen

05.01.2019, 14:09

puzibum

cos(2x) als Sinus darstellen

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
habe folgendes Problem: Ich soll cos(2x) als Sinus darstellen. Das Ergebnis lautet sin(1/3*pi*x) aber leider komme ich nicht drauf.

Meine Ideen:
Es gibt ja viele Zusammenhänge zwischen cosinus und sinus. Habe Additionstheoreme und etliches anderes Zeug auch benutzt. Denke jetzt ist es soweit und lande dann immer wieder bei cos(2x) also ganz am Anfang.

05.01.2019, 14:18

Leopold

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RE: cos(2x) als Sinus darstellen

Zitat:

Original von puzibum
Ich soll cos(2x) als Sinus darstellen. Das Ergebnis lautet sin(1/3*pi*x) aber leider komme ich nicht drauf.

Das ist offenbar falsch. Für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ liefert der eine Term 1, der andere 0.

Zur Lösung kombiniere die Formel für die Verdopplung des Arguments:

$\begin{align*} \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \end{align*}$

mit dem trigonometrischen Pythagoras:

$\begin{align*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{align*}$

05.01.2019, 14:21

Puzibum

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Das ist totaler Unsinn was ich geschrieben habe. Die Lösung lautet sin(2x+1/2*pi). Ich schaue mal wie ich mit dem trigonometrischen Phyth. weiter komme aber habe ich schon mal probiert glaube ich.

05.01.2019, 14:26

Puzibum

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Nee nada .. ich komme dann auf 1-2*sin^2(x) ... tja dann bleibt mir nur noch für sin^2(x)=1/2(1-cos2x)
und schon bin ich wieder am Anfang gelandet zumindest fast.

05.01.2019, 14:56

Puzibum

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ok habe es jetzt, aber vielleicht gibt es einen kürzeren Weg. Mein Weg lautet grob:

cos(2x)=cosxcosx-sinx-sinx=cosx sin(x+Pi/2) - sin^2(x) .... Minuend ausmultipilizieren mit der entsprechenden Regeln und Subtrahend umschreiben

Ich erhalte ...

=sin(2x+Pi/2)/2 + cos(2x)/2

dann kann ich sagen:

cos(2x)=sin(2x+Pi/2)/2 + cos(2x)/2

durch umstellen erhalte ich dann cos(2x)=sin(2x+Pi/2)

05.01.2019, 17:21

Leopold

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Ja wenn es nur um das geht! Wenn man den Graphen einer Funktion $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ um $\begin{align*} a \end{align*}$ in $\begin{align*} x \end{align*}$ -Richtung verschiebt, erhält man den Graphen der Funktion $\begin{align*} g(x) = f(x-a) \end{align*}$ .

Jetzt nehmen wir $\begin{align*} f(t) = \sin(t) \end{align*}$ und verschieben diesen Graphen um $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ nach links. Wir erhalten dann $\begin{align*} g(t) = \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ . Andererseits ergibt das genau den Cosinusgraphen. Also gilt

$\begin{align*} \sin \left( t + \frac{\pi}{2} \right) = \cos(t) \end{align*}$

Und jetzt substituieren wir $\begin{align*} t = 2x \end{align*}$ (oder $\begin{align*} t = 2019x \end{align*}$ ) und erhalten

$\begin{align*} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos(2x) \end{align*}$ (oder $\begin{align*} \sin \left( 2019x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos(2019x) \end{align*}$ ).

05.01.2019, 20:44

Puzibum

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Richtig stimmt ... ist natürlich um Welten einfacher und schneller smile

Vielen Dank

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