Matrix, lineare Unabhängigkeit |
| 06.01.2019, 02:08 | Sallytallsss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Matrix, lineare Unabhängigkeit Halli 
Hab Mal ne (vielleicht etwas bescheuertes) Verständnisfrage. Man ermittelt den Rang einer Matrix für gewöhnlich (anscheinend, bin im 1. Semester) damit, dass man mithilfe des Gauß' Nullzeilen erzeugt. Die Anzahl der Zeilen, welche übrig bleiben (ohne Nullzeile zu sein) entsprechen dann dem Rang. Leuchtet mir ein. Diese sind dann linear UNABHÄNGIG voneinander. Okay.. jedoch wurde das Thema auf diversen Seiten (und auch in meiner Hochschullektüre) folgendermaßen eingeleitet: man schaue welche Zeilen (oder Spalten) das Vielfache voneinander sind, diese sind linear abhängig. Also wenn bei einer 3x3 Matrix zwei Zeilen Vielfache voneinander sind (lin. Abhängig) dann hat die Matrix nur noch den Rang 2. Dabei ist zu beachten, dass die kleinere Anzahl genommen wird (entweder Vielfache der Zeilen oder halt der Spalten). So, klingt für mich easy und einleuchtend. Und vor allem viel komfortabler als das doch sehr aufwendige Gaußverfahren. Jedoch haben all meine Quellen einfach weiter geschrieben a la: Ausrechnen tut man den Rang der Matrix mithilfe des Gauß ... Ehm.. ja.. und jetzt steh ich auf'n Schlauch. Kann ich jetzt den Rang einfach mit dem Ablesen der Vielfachen bewerkstelligen oder nicht? Oder nur unter bestimmten Voraussetzungen? Oder war das einfach nur, um zu demonstrieren wir es mit der linearen Unabhängigkeit zusammenhängt? Hab es dann auch Mal getestet und bisher hat es mit den vielfachen immer übereinbestimmt wenn es dann noch kompliziert mit Gauß in die bestimme Form gebracht wurde. Wo ist jetzt der Sinn davon? Oder ist das mit den vielfachen doch zu unsicher? Mich verwirrt einfach nur dass all meine Quellen (ob wissenschaftliche Bücher oder YouTube) alle so einleiten, als wäre es so einfach und dann einfach weiter machen mir: ausrechnen geht so und so... Danke für eure antworten.. warum kompliziert wenn es auch leicht geht, oder? Hab nur momentan keine Möglichkeit einen Dozenten zu fragen.. ihr seid meine letzte Hoffnung, das Thema macht mich seit Tagen fertig.. Meine Ideen: Ich bin wirklich überfragt |
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| 06.01.2019, 03:45 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gute Nacht 
Der Reihe nach:
Richtig.
Jetzt wird's etwas schwammig. Wenn du meinst, dass die Zeilenvektoren der Zeilenstufenform (d.h. nach dem Gaußen), die keine Nullzeilen sind, linear unabhängig sind, stimmt es. (Übrigens heißt es nur "linear unabhängig" ohne "voneinander".)
Das stimmt jetzt nur zum Teil. Folgendermaßen: 1. Es stimmt, dass zwei Vektoren, die ein Vielfaches voneinander sind, linear abhängig sind. 2. Wenn eine Matrix also nur zwei Zeilen oder nur zwei Spalten hat, kann diese Methode angewendet werden, um 100%ig sicher zu entscheiden, welchen Rang die Matrix hat: --> sind die beiden Zeilen-(bzw. Spalten-)vektoren kein Vielfaches voneinander, hat die Matrix Rang 2. --> Sind die beiden Zeilen-(bzw. Spalten-)vektoren ein Vielfaches voneinander, hat die Matrix Rang 1, außer wenn die Matrix nur aus Nullen besteht. Dann (und nur dann) ist der Rang 0. 3. Um zu entscheiden, ob eine Menge aus drei oder mehr Vektoren linear abhängig ist, reicht es nicht, nur zu prüfen, ob zwei der Vektoren ein Vielfaches voneinander sind. Beispielsweise sind die drei Vektoren a=(1,1,0), b=(0,0,1) und c=(1,1,1) linear abhängig, obwohl keine zwei Vektoren ein Vielfaches voneinander sind! (Das kannst du ja gerne mal mit dem Gaußverfahren nachprüfen. Erfahrene Mathemenschen erkennen das auch so, weil a+b=c ist.) 4. Das bedeutet, dass die "Vielfachen-Methode" bei Matrizen ab Größe 3x3 nicht ausreicht, um den Rang sicher zu bestimmen!
Also nochmal zusammengefasst: Bei Matrizen der Größe 2xbeliebig oder beliebigx2 reicht das "Vielfachen-Verfahren" aus, bei Matrizen ab 3x3 nicht. Ich hoffe, das lichtet den Nebel in deinem Kopf jetzt 
LG Dustin |
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| 06.01.2019, 13:19 | Der frager | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Omg vielen vielen Dank! Danke Danke Danke! |
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