Koeffizienten beim Cauchy-Produkt

06.01.2019, 13:56

kocau06

Koeffizienten beim Cauchy-Produkt

Hallo

Sei $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}c_n=(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}) \cdot (\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}) \end{eqnarray*}$ definiert und zu bestimmen sind nun die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ .

Ich bin nicht sicher, was das Ziel bei der Aufgabe ist.
Einfach nur die rechte Seite so weit umformen, dass nur noch eine Summe dort steht ?

Falls ja, dann hätte man ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{k} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{(-1)^{k-n}}{\sqrt{k-n+1}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \sum_{n=0}^{k} \frac{1}{(n+1)(k-n+1)} \end{eqnarray*}$

Aber so richtig weiter bringt mich das nicht.
Hat jemand eine Idee wie ich hier weiterkommen kann ?

06.01.2019, 15:49

HAL 9000

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RE: Koeffizienten beim Cauchy-Produkt
Wenn du im letzten Schritt nicht unverständlicherweise die Wurzel weggelassen hättest, wäre es sogar richtig gewesen. D.h., tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} c_k = (-1)^k \sum_{n=0}^k \frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \end{eqnarray*}$ .

Und was heißt jetzt "weiter kommen"? Geht es um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert? verwirrt

06.01.2019, 17:31

Leopold

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In der Überschrift steht "Koeffizienten beim Cauchy-Produkt". Daher kann man die Aufgabe vielleicht so deuten. Für sich allein gestellt ergibt

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n \ = \ \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right) \end{align*}$

keinen Sinn, wenn dadurch die $\begin{align*} c_n \end{align*}$ durch die $\begin{align*} a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} b_n \end{align*}$ definiert werden sollen. Störend ist auch der Begriff "Koeffizient". Man verwendet ihn für die Vorfaktoren in Polynomen oder Potenzreihen. Aber als Bezeichnung für das allgemeine Summenglied? Alles zusammen habe ich den Verdacht, daß wir hier nicht die Originalaufgabe haben, sondern nur den Extrakt eines vielleicht von kocau06 erstellten Lösungsansatzes. Wichtige Informationen, die der Fragesteller vielleicht für unbedeutend hält, scheinen zu fehlen.

06.01.2019, 19:24

kocau06

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Zitat:

Wenn du im letzten Schritt nicht unverständlicherweise die Wurzel weggelassen hättest

Sorry, das war ein Abschreibfehler.

Zitat:

Wichtige Informationen, die der Fragesteller vielleicht für unbedeutend hält, scheinen zu fehlen.

Ich hatte lediglich weggelassen, dass in einem Nebensatz noch " $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ ist der n-te Summand im Cauchyprodukt der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}) \end{eqnarray*}$ mit sich selbst" stand.

Zitat:

Störend ist auch der Begriff "Koeffizient". Man verwendet ihn für die Vorfaktoren in Polynomen oder Potenzreihen.

Exakt das dachte ich mir auch, habe es aber 1:1 so übernommen, wie es in der Aufgabe stand.

Zitat:

Geht es um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert ?

In der Tat soll man das in der folgenden Teilaufgabe beantworten.

Ich würde beim Betrachten einiger Koeffizienten vermuten, dass die Reihe divergiert (weil immer mehr abgezogen wird als dazu kommt). Das vernünftig zu beweisen, dabei stehe ich aber zur Zeit noch auf dem Schlauch.
Mein Gefühl sagt mir auch, dass zum Zeigen der vermuteten Divergenz auch eher die Ausgangsdarstellung $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}c_n=(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}) \cdot (\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}) \end{eqnarray*}$ zu betrachten ist und nicht die Darstellung für die einzelnen $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ der Summe.
Einzeln für sich genommen konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$ ja nach Leibniz. Im zu betrachtenden Produkt - wenn ich nicht irre - jedoch nicht...

Wie würdet ihr da vorgehen ?

06.01.2019, 23:20

HAL 9000

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Für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq n\leq k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 < (n+1)(k-n+1) = \left(\frac{k}{2}+1\right)^2 - \left(n-\frac{k}{2}\right)^2\leq \left(\frac{k}{2}+1\right)^2 \end{eqnarray*}$ , und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \geq \frac{2}{k+2} \end{eqnarray*}$ ,

was summiert $\begin{eqnarray*} |c_k| = \sum_{n=0}^k \frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \geq \frac{2(k+1)}{k+2} \end{eqnarray*}$

ergibt. Der Term rechts konvergiert für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen 2, damit bilden die Reihenglieder $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge, somit ist die Reihe divergent.

07.01.2019, 10:37

kocau06

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Sieht recht elegant aus dein Weg. Freude

Nochmal zum Nachvollziehen:

Deine Idee ist also den Radikanden mit etwas Quadratischem abzuschätzen, damit man anschließend mit einem wurzelfreien Term arbeiten und den Widerspruch zur Nullfolge erzielen kann.

Habe ich das richtig gedeutet ?

Du benutzt zur Abschätzung die 3. binomische Formel - dazu braucht man aber schon ein recht gutes Auge oder sehe ich etwas Offensichtliches nicht ?

Da mir die Erfahrung da (noch) etwas fehlt, würde alternativ auch das hier gehen ?

$\begin{eqnarray*} 0<(n+1)(k-n+1) \leq (k+1)(k+1)=(k+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |c_k| = \sum_{n=0}^k \frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \geq \frac{k+1}{k+1}=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

was summiert |c_k|=...

Du nimmst also den Betrag um den negativen Fall $\begin{eqnarray*} c_k = \sum_{n=0}^k -\frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \leq -\frac{2(k+1)}{k+2} \end{eqnarray*}$ für ein ungerades k gleichzeitig abzuhandeln ?

Das k+1 im Zähler kommt doch wegen den k+1 Summanden von 0 bis k, richtig ?

Zitat:

...damit bilden die Reihenglieder $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge...

Sieht man dem Summenterm von $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ eigentlich direkt an, dass sich die Glieder eben nicht der Null annähern oder woher kam dein gezielter Fokus darauf ?

07.01.2019, 10:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von kocau06
Da mir die Erfahrung da (noch) etwas fehlt, würde alternativ auch das hier gehen ?

$\begin{eqnarray*} 0<(n+1)(k-n+1) \leq (k+1)(k+1)=(k+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ja, genügt auch. Augenzwinkern

Zitat:

Original von kocau06
Du nimmst also den Betrag um den negativen Fall $\begin{eqnarray*} c_k = \sum_{n=0}^k -\frac{1}{\sqrt{(n+1)(k-n+1)}} \leq -\frac{2(k+1)}{k+2} \end{eqnarray*}$ für ein ungerades k gleichzeitig abzuhandeln ?

So ist es: Wenn $\begin{eqnarray*} (|c_k|) \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist, dann ist es $\begin{eqnarray*} (c_k) \end{eqnarray*}$ auch nicht - warum also noch Zeit in eine Fallunterscheidung stecken.

Zitat:

Original von kocau06
Das k+1 im Zähler kommt doch wegen den k+1 Summanden von 0 bis k, richtig ?

Ja.

Zitat:

Original von kocau06
Sieht man dem Summenterm von $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ eigentlich direkt an, dass sich die Glieder eben nicht der Null annähern oder woher kam dein gezielter Fokus darauf ?

In der "Mitte" der Summe bei $\begin{eqnarray*} n\approx\frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ ist der Summand am niedrigsten. Wenn man dort aber auch schon einen Summandwert $\begin{eqnarray*} \approx \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ hat, ist klar, wo der Hase langläuft. Das muss man dann nur noch ordentlich begründen, dazu dann die seriösen Abschätzungen. Augenzwinkern

P.S.: Übrigens, es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} |c_k| = \pi \end{eqnarray*}$ . Nicht, dass das hier wichtig wäre, aber eine nette Zusatzaufgabe. Big Laugh

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