Aufgabe zur Tschebyscheff-Ungleichung |
| 07.01.2019, 12:26 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aufgabe zur Tschebyscheff-Ungleichung a) Eine Zufallsvariable X nehme nur ganzzahlige Werte an, habe den Erwartungswert E(X) = 5 und die Varianz V (X) = 4. Zeigen Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen der Werte 3, 4, 5, 6, 7 annimmt, größer als 50% ist. b) Die Zufallsvariable Y nehme nur ganzzahlige Werte an, wobei bekannt ist, dass P(Y = 2) = P(Y = 5) = P(Y = 8) = gilt. Berechnen Sie den Erwartungswert E(Y), die Varianz V (Y) sowie die Wahrscheinlichkeit P(Y {3,4,5,6,7}) und vergleichen Sie dies mit der Aussage in a). Meine Ideen: a) P(| x- 5| a) = wie komme ich auf das a? b) für den Erwartungswert und die Varianz reichen mir da die 3 gegebenen Werte von oben oder wie siehts da aus? |
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| 07.01.2019, 12:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch eigenes Nachdenken: Tschebyscheff sagt bzw. für das Komplement . Wähle nun so groß, dass gerade die X-Werte 3,4,5,6,7 die Ungleichung erfüllen, andere aber nicht. b) Wenn du weißt, wie man Erwartungswert und Varianz für eine diskrete Zufallsgröße mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, dann leg doch einfach los! |
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| 07.01.2019, 13:26 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okey alles klar ja wenn ich mit den 3 Werten von oben rechne bekomme ich für E(y) = 5 und für V(y) = 4 wie also in der a) auch schon. da war ich mir unsicher ob das so passt. |
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| 07.01.2019, 13:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beispiel b) ist dazu gedacht aufzuzeigen, dass die Tschebyscheff-Ungleichung durchaus "scharf" sein kann, d.h., dass es durchaus Zufallsgrößen mit den entsprechenden Erwartungswerten und Varianzen gibt, so dass die in der Ungleichung angebene Wahrscheinlichkeitsschranke nicht weiter verbessert werden kann: Wenn man Tschebyscheff immer nur mit Binomialverteilung/Normalverteilung betrachtet kann man ja leicht den Eindruck gewinnen, dass diese Tschebyscheff-Abschätzungen nicht sonderlich gut sind - was sie für diese Verteilungstypen auch tatsächlich nicht sind. |
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| 07.01.2019, 13:49 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso okey, also zeige ich mit der b) nur die Werte aus a) nicht beliebig gewählt sind Was ist die Wahrscheinlichkeitsschranke? ich versteh zwar so langsam aber ich komm trotzdem noch nicht ganz klar, wenn ich jetzt die a) rechnen muss, wie gehe ich denn schritt für schritt vor? da steht ja auch noch: Zeigen Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen der Werte 3, 4, 5, 6, 7 annimmt, größer als 50% ist. Wo müssen die größer als 50% hin? |
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| 07.01.2019, 13:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit ist die rechte Seite der Tschebyscheff-Ungleichung gemeint: Das ist ja kein Wahrscheinlichkeitswert, sondern nur eine obere Schranke eines Wahrscheinlichkeitswert - weil es ja eben keine Tschebyscheff-Gleichung, sondern eine Tschebyscheff-Ungleichung ist. Und zu a) musst du jetzt langsam mal selber zu Potte kommen, mit einer gesunden Spur GMV (=Gesunder Menschenverstand). Hinweise genug waren jetzt da. |
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| 07.01.2019, 14:00 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also das mit dem Gesunden Menschenverstand find ich nicht nett. Ich verstehs einfach noch nicht ganz, sonst würd ich ja nicht nochmal nachfragen. |
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| 07.01.2019, 14:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setz a=3 ein. |
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| 07.01.2019, 14:13 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja aber was ist mit den größer als 50% oder ist das damit dann abgehakt? ist dann echt schon alles? ich zweifel das immer an wenn mir was zu einfach erscheint, deswegen frag ich dann lieber mehrmals nach ^^ bin mir da echt unsicher, vor allem hatten wir das mit der Tschebyscheff Ungleichung noch nicht behandelt sondern nur aufgaben dazu und deshalb bin ich mir dann noch unsicherer |
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| 07.01.2019, 14:13 | Fenni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh jetzt ist es klar 
man manchmal bin ich echt auf dem schlauch sorry!!
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