Umformung erklären (Erwartungswert)

07.01.2019, 20:20	uzttw	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung erklären (Erwartungswert) [attach]48693[/attach] Kann mir hier jemand bitte die erste Umformung bei Punkte b) erklären? Ich schätze, dass hier mit einer Teleskopsumme argumentiert wird, aber da würde das ^2 fehlen. Und woraus folgt dann das zweite "="Zeichen? Danke!
07.01.2019, 22:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, das Quadrat fehlt, d.h., dort muss $\begin{eqnarray} \left[\ldots\right]^2 \end{eqnarray}$ stehen. Danach geht's aber richtig weiter, es war also wirklich nur ein Schreibfehler in diesem zweiten Term der Gleichungskette: Dort wird das Quadrat aufgelöst. Denn so wie für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ja laut Binomischer Formel $\begin{eqnarray} [a_1+a_2]^2 = a_1^2+a_2^2 + 2a_1a_2 = a_1^2+a_2^2 + a_1a_2 + a_2a_1 \end{eqnarray}$ ist, so gilt für allgemeines $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\sum_{k=1}^n a_k\right]^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2 + \sum_{k=1}^n \sum_{\substack{j=1\\j\neq k}}^n a_ka_j \end{eqnarray}$ , und genau das wird dort für $\begin{eqnarray} a_k=X_k-X_{k-1} \end{eqnarray}$ genutzt, zuzüglich die Linearität des Erwartungswertoperators.
07.01.2019, 23:01	uztte	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt beim dritten Term dieser Gleichungskette bezieht sich das erste Summenzeichen auf alles bis zum Ende dieses dritten Terms? Also ich meine wenn wir nach dem ersten Summenzeichen eine Klammer machen würden, dann hört diese nicht bereits vor dem zweiten Summenzeiche auf sondern geht ganz bis zum Ende
07.01.2019, 23:28	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, so ist das gemeint. $\begin{eqnarray} \left[\sum_{k=1}^n a_k\right]^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2 + \sum_{k=1}^n \left( \sum_{\substack{j=1\\j\neq k}}^n a_ka_j\right) \end{eqnarray}$ ein Summenzeichen braucht ein Argument.

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