Singuläre Homologie und Axiome

08.01.2019, 17:14	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Singuläre Homologie und Axiome Ich habe eine große Frage. Die p-te Homologiegruppe eines singulären Kettenkomplexes ist ja definiert als: $\begin{eqnarray} H_{p}(X) = \frac{ker(phi_{p} )}{im(phi_{p+1} )} \end{eqnarray}$ , wobei X der topologische Raum ist und phi die jeweiligen Randabbildungen. Jetzt ist ja diese Homologie nach den Eilenberg-Steenrod Axiomen eine Homologietheorie, allerdings geht es ja bei den Eilenberg-Stennrod Axiomen um Funktoren von der Kategorie der topologischen Raumpaare in die KAtegorie der abelschen Gruppen. Wie hängt beides zusammen? Ich bin sehr verwirrt.
08.01.2019, 19:34	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine relative Variante von singulärer Homologie, definiert durch $\begin{eqnarray} H_p(X,A) := H_p(CX/CA) \end{eqnarray}$ für Paare $\begin{eqnarray} A \subset X \end{eqnarray}$ . Dies definiert eine Eilenberg-Steenrod-Homologietheorie für Paare. Insbesondere induziert jedes Paar eine lange exakte Homologiesequenz. Die absolute Version gewinnt man aus der relativen wieder durch $\begin{eqnarray} H_p(X,\emptyset) = H_p(X) \end{eqnarray}$ .

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