Normalverteilung, Kombination von 2 Zufallsvariablen

08.01.2019, 20:45

Kathreena

Normalverteilung, Kombination von 2 Zufallsvariablen

Körpergröße in verheirateten Paaren: Man modelliere die Körpergröße durch eine Normalverteilung und schätze die Parameter aus Daten. Man berechne folgende Wahrscheinlichkeiten und unterstelle dabei, dass sowohl der Mann als auch die Frau "unabhängig voneinander gewählt werden".

a.) Der Mann ist kleiner als die Frau

b.) Der Mann ist 10 und mehr cm größer als die Frau.

c.) Man vergleiche die Ereignisse mit eigenen Erfahrungen mit Paaren

Aus dem demograhpischen Daten in Deutschland entnehmen wir: Männer sind im Durchschnitt 178, Frauen 165 cm groß; die Standardabweichung betragen (rund) 7 für Männer und 6 für Frauen.

Hinweis: Normalverteilungen haben die besondere Eigenschaft, dass Linearkombinationen von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen wiederum normalverteilt sind.

Meine Idee:
Zufallsvariablen M,F
M -> Mann F -> Frau
a.)
Ich weiß nicht genau wie man das rechnet, denke so:
$\begin{eqnarray*} P(M<F) = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x) \cdot m(t) dx dt \end{eqnarray*}$

nur wie komm ich auf die Dichtefunktionen und auf die Grenzen?

08.01.2019, 21:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
Hinweis: Normalverteilungen haben die besondere Eigenschaft, dass Linearkombinationen von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen wiederum normalverteilt sind.

Einfach befolgen! Im Klartext: Aus $\begin{eqnarray*} M\sim\mathcal{N}\left(178,7^2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F\sim\mathcal{N}\left(165,6^2\right) \end{eqnarray*}$ folgt für die Differenz der beiden Körpergrößen

$\begin{eqnarray*} M-F = M+(-1)\cdot F \sim \mathcal{N}\left(178+(-1)\cdot 165,7^2+(-1)^2\cdot 6^2\right) = \mathcal{N}\left(13,85\right) \end{eqnarray*}$ ,

also eine Normalverteilung mit Mittelwert 13 und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{85} \end{eqnarray*}$ .

08.01.2019, 22:53

Kathreena

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Ok dann habe ich eine Normalverteilung, anstelle von 2.
Verstehe nur nich warum die Differenz, und was mir das nun bringt.

Jetzt stecken nun beide Daten da drinn, wie finde ich nun die "Fläche" die für, "Der Mann ist kleiner als die Frau" in frage kommen.

brauch ja dann sowas oder:
$\begin{eqnarray*} P(X < k) = \phi(\frac{k-\mu}{\sigma } ) \end{eqnarray*}$

09.01.2019, 07:42

HAL 9000

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ich dachte, das wäre offensichtlich!

Zitat:

Original von Kathreena
Verstehe nur nich warum die Differenz, und was mir das nun bringt.

$\begin{eqnarray*} P(M<F) = P(M-F<0) = \Phi\left( \frac{0-13}{\sqrt{85}} \right) = 1-\Phi\left( \frac{13}{\sqrt{85}} \right) \end{eqnarray*}$ .

09.01.2019, 10:56

Kathreena

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Ah ok, und für b.) gilt dann:

$\begin{eqnarray*} M-(F+10) = M+(-1)\cdot (F+10) \sim \mathcal{N}\left(178+(-1)\cdot 175,7^2+(-1)^2\cdot 6^2\right) = \mathcal{N}\left(3,85\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(M-(F+10)>0)=1-P(M-(F+10)<0) = 1-\Phi\left( \frac{0-3}{\sqrt{85}} \right) = 1-(1-\Phi\left( \frac{3}{\sqrt{85}} \right) \end{eqnarray*}$

09.01.2019, 12:32

HAL 9000

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Du musst bei b) das Rad nicht nochmal neu erfinden, sondern kannst auch weiter mit der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} M-F \end{eqnarray*}$ arbeiten, die wir ja nun bereits "im Griff" haben:

$\begin{eqnarray*} P(M \geq F+10) = P(M-F\geq 10) = 1-\Phi\left( \frac{10-13}{\sqrt{85}}\right) \end{eqnarray*}$ usw.

09.01.2019, 12:54

Kathreena

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danke

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