Eigenwerte von Matrizen

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MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte von Matrizen
Meine Frage:
Berechne den Eigenwert dieser Matrix:

A=


Meine Ideen:
Ich habe mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz um die 3. Spalte ermittelt, nachdem ich C-Lambda*I ausgerechnet habe und komme auf:

(cos(phi)+lambda^2)^2+ (sin(phi)*lambda)^2

für die Determinante.

Stimmt das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte von Matrizen
Zitat:
Original von MatheFredo
Berechne den Eigenwert dieser Matrix:

Sollte wohl eher heißen "Berechne die Eigenwerte dieser Matrix".

Wenn du von Determinante sprichst, dann meinst du vermutlich , oder? In dem Fall stimmt

Zitat:
Original von MatheFredo
(cos(phi)+lambda^2)^2+ (sin(phi)*lambda)^2

aber ganz sicher nicht: Es muss ein Polynom dritten Grades in herauskommen - bei dir hat das Polynom unverständlicherweise Grad 4. unglücklich
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

A- *E=
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

ist denn der Ansatz richtig? E= Einheitsmatrix
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Nur etwas seltsam, dass aus jetzt plötzlich wurde...
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich um die 3. Spalte entwickele, komme ich auf
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie das denn??? Nach der dritten Spalte entwickelt gelangt man schlicht zu

.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

durch

-(lambda) *
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von ein paar kleineren Rechenfehlern scheinst du auch die "Rechenregel"



zu praktizieren. Die vergiss mal ganz schnell, die gilt nur in Dimension 1. In Dimension haben wir

.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

käme man dann auf

-(lambda) *

= - lambda [(cos(phi)-lambda)*cos(phi-lambda)-(sin(phi))*(-sin(phi)]

det (A-lambda*E)=-lambda (cos(phi)-lambda)^2 + sin^2(phi)=0

und die gesuchten Eigenwerte wären cos(phi) und 0
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt noch ein Klammerpaar, ansonsten ist es richtig: .
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

die gesuchten Eigenwerte ebenfalls ? s.o.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Da fehlt noch ein Klammerpaar, ansonsten ist es richtig: .


fehlt im ersten Summanden nicht das Quadrat außerhalb der Klammer?
(cos(phi)-lambda)^2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig, hatte ich im Zeitdruck vergessen: .
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte lauten

Lambda 1= 0

Lambda 2=

(cos(phi)-lambda)^2 + sin^2(phi)=0
(cos(phi)-lambda)^2 = -sin^2(phi) /√
cos(phi)-lambda = -sin (phi) / -cos (phi) / unglücklich -1)

lambda 2= sin(phi)+cos(phi)

?
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: die Rechnung sollte lauten

(cos(phi)-lambda)^2 + sin^2(phi)=0
(cos(phi)-lambda)^2 = -sin^2(phi) | Wurzelziehen
cos(phi)-lambda = -sin (phi) / -cos (phi) / : (-1)

Lambda 2= sin (phi) +cos (phi)
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

könntest Du mir vielleicht noch schnell mitteilen, ob die Eigenwerte stimmen?
MatheFredo1 Auf diesen Beitrag antworten »

oder ein anderer User, der zurzeit Online ist?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch einfach selbst die Probe. Setze ein und du wirst feststellen, dass es im Allgemeinen kein Eigenwert ist sondern nur für spezielle Werte von .
Generell muss man die Frage stellen, ob reelle oder komplexe Eigenwerte gesucht sind.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung steht nur 0
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre die Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms im Reellen und im Komplexen möglich?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

bedeutet , d.h.,

, anders geschrieben .
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

warum wäre die Bestimmung der Eigenwerte im Reellen nicht möglich?
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

& lambda1=0 wäre kein Eigenwert des charakt. Polynoms?
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