Eigenvektoren

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09.01.2019, 19:24	MatheFredo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren Meine Frage: Wie bestimme ich die normierten Eigenvektoren von (- Lambda 1 ) (1 -Lambda) die Eigenwerte sind +1 und -1 bei mir kriege ich als Eigenvektor (1) (1) raus. Aber ich komme nicht auf den normierten Eigenvektor. Meine Ideen: ich weiss nicht weiter
09.01.2019, 19:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \lambda =1 \end{eqnarray}$ ist der normierte EV $\begin{eqnarray} \frac 1{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \lambda=-1 \end{eqnarray}$ hat der EV dieselbe Norm $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ . Ein Vektor wird nomiert, indem man durch seine Norm dividiert.
09.01.2019, 19:38	MatheFredo	Auf diesen Beitrag antworten »
wir haben in der Vorlesung das Bsp für (3 -2) * v1=0 (3 -2) behandelt. 3x1-2y1=0 x1=1 Aber wie kommt man auf x1? laut meinen Rechnungen kommt man hier auf einen Eigenvektor von (2) (3)
09.01.2019, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine Gleichung für 2 Unbekannte. Dann kann man eine Unbekannte beliebig wählen.
09.01.2019, 20:11	MatheFredo	Auf diesen Beitrag antworten »
also hätte x1 auch meinetwegen 3 sein können? und ich hätte nicht den Eigenvektor (2) (3) berechnen müssen?
09.01.2019, 21:13	MatheFredo1	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte mir jemand, der online ist, auf die Schnelle antworten? Ich muss die Hausarbeit bis Morgen fertig haben.
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09.01.2019, 21:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Du sicher weißt, gibt es über dem Körper R niemals "den" Eigenvektor, sondern zu jedem Eigenwert unendlich viele. Da kommt es auf die genaue Aufgabenstellung an, welchen Du angeben sollst. Ist von einem "normierten Eigenvektor" die Rede, dann muss seine Länge 1 betragen. Ist ein $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Wert vorgegeben, musst Du das $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und ggf. noch weitere vorhandenen Koordinaten entsprechend anpassen. Ist von dem Eigenraum die Rede, dann sind sämtliche Eigenvektoren gefragt. Ist nur irgendein Eigenvektor gefragt, dann kannst Du Dir eine Koordinate aussuchen (Vorausgesetzt, es sind keine Koordinaten durch die Rechnung festgelegt) und musst die weiteren wiederum anpassen. Du siehst also: Man kann Dir keine klare Antwort geben, wenn Du die genaue Aufgabenstellung nicht angibst.
09.01.2019, 22:20	MatheFredo1	Auf diesen Beitrag antworten »
bspw. Berechne den Eigenvektor dieser Matrix: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(phi) & -sin(phi) & 0 \\ sin(phi) & cos(phi) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder Berechne den Eigenvektor dieser Matrix: B= (a -a 0) (-b 2b -b) (0 -a a) die Eigenwerte habe ich berechnet, sie lauten a und 2b+a für Matrix B. An den normierten Eigenvektor komme ich aber nicht
09.01.2019, 22:24	MatheFredo	Auf diesen Beitrag antworten »
und zusätzlich noch die 0 als Eigenwert bei Matrix B.
10.01.2019, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade, dass ich mir oben die Mühe gemacht habe, wo Du wieder auf die unsinnige Fragestellung nach dem Eigenvektor eine Antwort haben möchtest. Hättest Du nach einem oder dem normierten Einheitsvektor gefragt, wären deine Chancen besser gewesen. Woran scheiterst Du? Die Matrix B hast Du ja und die zugehörigen Eigenwerte meinst Du auch berechnet zu haben. Die Zeilenstufenform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -b-a&2b&-b \\ 0&-a&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hast Du nicht hinbekommen? Falls doch solltest Du erkennen, dass es von a und b abhängt, welchen Rang und somit welche Dimension der zugehörige Eigenraum hat. Beispielsweise ist für a=1 und b=0 der Rang 2 und somit die Menge $\begin{eqnarray} \big \{ \begin{pmatrix} 0\\0\\t \end{pmatrix} , t \in \mathbb{R} \big \} \end{eqnarray}$ Eigenraum zum Eigenwert 1.

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