Skalarprodukt und lineare Abbildungen - Beweisaufgabe

10.01.2019, 20:31	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und lineare Abbildungen - Beweisaufgabe Hallo zusammen, Ich komme bei einem Beweis nicht ganz zu recht und wenn wer mal drüberschauen würde, wäre ich sehr dankbar. Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung und $\begin{eqnarray} f^{}: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ eine weitere lineare Abbilung mit $\begin{eqnarray} < f(v) , w > = < v, f^{}(w) > \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w \in V \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} Bild(f^{}) = (Kern(f))^{\perp} \end{eqnarray}$ Meine Lösung bis jetzt: Sei $\begin{eqnarray} x \in Bild(f^{}) , f^{}(w)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \in Kern(f) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} 0=<0 , w > = < f(v),w > = < v, f^{}(w) > = <v , x > \forall v \in Kern(f) \Rightarrow x \in Kern(f)^{\perp} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Bild(f^{}) \subseteq Kern(f)^{\perp} \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich gerne zeigen, dass natürlich noch $\begin{eqnarray} Kern(f)^{\perp} \subseteq Bild(f^{}) \end{eqnarray}$ gilt. Aber das bekomme ich nicht hin. Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} x \in Kern(f)^{\perp} , v \in Kern(f) , w \in V \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} 0=< v, x > \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 = < 0, w> = < f(v) , w> = < v , f^{}(w) > \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt iwie folgern, dass $\begin{eqnarray} f^{}(w) = x \end{eqnarray}$ ??? LG Snexx_Math
10.01.2019, 20:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du: Subtrahiere die beiden Skalarprodukte und folgere daraus das richtige.
10.01.2019, 21:42	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnelle Antwort Inwiefern denn subtrahieren ? Meinst du : $\begin{eqnarray} < v , x > - < v, f^{}(w) > \end{eqnarray*}$ Nur damit ich mit dem richtigen Ansatz weiterdenke
10.01.2019, 21:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Daran hatte ich gedacht, bin mir aber grad bei der Folgerung nicht mehr sicher. Ich denk nach dem Krimi noch mal drüber nach, sofern Du bis dahin noch keine Lösung hast. EDIT: Ich ziehe meinen Beitrag zurück. Die Folgerung wäre nur $\begin{eqnarray} x-f^(w) \in kern(f)^\perp \end{eqnarray}$ gewesen. Ich wollte auf die Eigenschaft $\begin{eqnarray} <v,x>=0~\forall~v~\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ hinaus, was aber nicht klappt.

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