Lipschitz-Stetigkeit

10.01.2019, 22:49

lipfunk

Lipschitz-Stetigkeit

Hallo

Angenommen zwei Funktionen f und g mit f,g : IR ---> IR sind Lipschitz-stetig mit den Lipschitzkonstanten $\begin{eqnarray*} L_f \ ~ \text{und} \ ~ \ L_g \end{eqnarray*}$

Zeigt man dann, dass $\begin{eqnarray*} p(x)=f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen a und b nicht Lipschitz-stetig ist, indem man ein Gegenbeispiel angibt oder geht es auch, wenn man die Definition anwendet, bis am Ende eine Abhängigkeit von a oder b auftaucht ?

Mache ich zweiteres, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{|p(a)-p(b)|}{|a-b|}=...\leq |g(a)| \cdot L_f+|f(b)| \cdot L_g \end{eqnarray*}$

Reicht das auch als Beweis oder eher nicht ?

11.01.2019, 00:04

Guppi12

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Hallo,

dein Beweis reicht aus zwei Gründen nicht.

Erstens hast du eine Abschätzung getätigt, das heißt, selbst wenn das rechts von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängt und zum Beispiel sehr groß wird, wenn man $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ variiert, könnte die linke Seite trotzdem klein bleiben.

Zweitens weißt du nicht, ob $\begin{eqnarray*} |g(a)|,|f(b)| \end{eqnarray*}$ wirklich von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängen, es könnte ja sein, dass $\begin{eqnarray*} g,a \end{eqnarray*}$ konstant sind. Oder es könnte von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängen, aber beschränkt bleiben, was ja auch noch ok wäre. Du müsstest also zumindest irgendwie begründen, dass es Funktionen gibt, wo das nicht der Fall ist. Das kommt dann aber der Angabe eines expliziten Gegenbeispiels schon sehr nahe und ist wahrscheinlich schwieriger, als ein Gegenbeispiel anzugeben.

Du wirst insgesamt nicht darum herumkommen in irgendeiner Art und Weise ein Gegenbeispiel anzugeben, weil es ja auch Beispiele gibt, wo das Produkt von Lipschitz-stetigen Funktionen wieder Lipschitz-stetig ist. Es kann also nicht gelingen, für eine beliebige Funktion irgendwas zu widerlegen, weil das bedeuten würde, dass das Produkt von Lipschitz-stetigen Funktionen nie Lipschitz-stetig ist.

11.01.2019, 12:12

lipfunk

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In Ordnung, danke.

Als Gegenbeispiel würde sich doch hier f(x)=g(x)=x anbieten, oder ?
Denn lineare Funktionen sind ja immer Lipschitz-stetig, hingegen Polynome ab Grad 2 - zumindest ohne Beschränkung des Definitionsbereichs - nicht.

Für alle reellen Zahlen a und b gilt $\begin{eqnarray*} |f(a)-f(b)|=|g(a)-g(b)|=|a-b|=1 \cdot |a-b| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} L_f=L_g=1 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man nun aber $\begin{eqnarray*} p(x)=x \cdot x=x^2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt (falls p(x) Lipschitz-stetig wäre) :

$\begin{eqnarray*} |p(a)-p(b)|=|a^2-b^2|=|(a-b)(a+b)|=|a-b| \cdot |a+b| \leq L_p |a-b| \Rightarrow |a+b| \leq L_p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L_p \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die letzte Ungleichung gilt im Allgemeinen jedoch nicht.
Z.B. würde für die Wahl $\begin{eqnarray*} a=L_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ja ein Widerspruch entstehen.
Daher war die Annahme "p sei Lipschitz-stetig" falsch und ein Gegenbeispiel ist gefunden.

Ist das so richtig ?

Und noch eine allgmeine Verständnisfrage:

Letztendlich ist die Lipschitz-Konstante L doch nichts anderes als die betragsmäßig größte Steigung des Graphen einer Funktion f, oder nicht ?
Daher gibt es bei passend eingeschränkten Definitionsbereichen D logischerweise auch tatsächlich eine betragsmäßig größte Steigung.
Ich habe mal für D=[a,b] eine Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} L=sup|f'(x)| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ gesehen.
Nimmt man das Supremum, weil (a,b) offen ist und daher die betragsmäßig maximale Steigung ggf. gar nicht selbst vorkommt ?
Wenn man in $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ sucht, dann kann man doch auch direkt max statt sup schreiben, oder ?

11.01.2019, 12:29

Guppi12

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Dein Gegenbeispiel ist korrekt gewählt und die Begründung ist auch in Ordnung. Allerdings solltest vor deinem Folgepfeil spezifizieren, dass diese Folgerung nur für $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn die Funktion differenzierbar ist und eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder Teilmengen davon, kann man die optimale Lipschitzkonstante (Lipschitzkonstanten sind nicht eindeutig) tatsächlich als die maximale (vielleicht eher supremale) betragsmäßige Steigung interpretieren.

Zitat:

Daher gibt es bei passend eingeschränkten Definitionsbereichen D logischerweise auch tatsächlich eine betragsmäßig größte Steigung.

Nein, das muss nicht der Fall sein. Betrachte die Wurzelfunktion auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ . Diese ist dort differenzierbar, aber nicht mit beschränkter Ableitung, daher auch nicht Lipschitz-stetig.

Zitat:

Nimmt man das Supremum, weil (a,b) offen ist und daher die betragsmäßig maximale Steigung ggf. gar nicht selbst vorkommt ?

Jein, der zweite Teil stimmt, aber das muss nicht an der Offenheit von (a,b) liegen, sondern kann auch andere Gründe haben, zum Beispiel weil die Ableitung nicht gutartig genug auf (a,b) ist.

Zitat:

Wenn man in $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$ sucht, dann kann man doch auch direkt max statt sup schreiben, oder ?

Nein, das wäre nur der Fall, wenn die Ableitung stetig ist. Ist sie das nicht, ist ein Maximum nicht garantiert. Auch dass das Supremum endlich ist, muss nicht gegeben sein, siehe oben.

11.01.2019, 21:05

lipfunk

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Alles klar, danke für die Aufklärung.

Noch eine letzte Frage zum Thema, bezogen auf m(x)=max(f,g)

Ich habe eher zufällig im Netz gefunden, dass $\begin{eqnarray*} max(f,g)=\frac{f+g+|f-g|}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.
Damit komme ich dann letztendlich mittels normaler und umgekehrter Dreiecksungleichung auf $\begin{eqnarray*} |m(a)-m(b)|=...\leq (L_f+L_g) \cdot |a-b| \end{eqnarray*}$ und damit zur Schlussfolgerung, dass max(f,g) Lipschitz-stetig ist.
Via Fallunterscheidung ist der Zusammenhang für max(f,g) klar, aber in der Vorlesung war das nicht dran.
Gibt es da noch eine andere Herangehensweise ohne diese im Netz gefundene Formel ?

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