Umkehrfunktion für eine Funktion in R^n

11.01.2019, 16:12	Zeno-2	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion für eine Funktion in R^n Liebe Leute, die folgende Frage beschäftigt mich: Ich habe eine relativ einfache skalare Funktion von mehreren Veränderlichen: $\begin{eqnarray} f(x_1,...,x_n)= \sum\limits_{k=1}^{n} e^{(a_{k} + b_{k} x_{k})} \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} a_k, b_k \neq 0 \end{eqnarray}$ sind Konstanten und alle Werte sind reell. Angenommen ich habe nun einen Punkt $\begin{eqnarray} (x_1^0,...,x_n^0) \end{eqnarray}$ und den dazugehörigen Wert der Funktion $\begin{eqnarray} f(x_1^0,...,x_n^0)= \sum\limits_{k=1}^{n} e^{(a_{k} + b_{k} x_{k}^0)} = c_0 \end{eqnarray}$ Wenn ich die Funktion als "Gebirge" auffasse, dann gibt es an jedem Punkt einen steilsten Anstieg / ein steilstes Gefälle, dass durch $\begin{eqnarray} \operatorname{grad}(f) =\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_1 e^{(a_{1} + b_{1} x_{1})} \\ \vdots\\ b_n e^{(a_{n} + b_{n} x_{n})} \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ausgewiesen wird. Ich will mich nun bei meiner Funktion von $\begin{eqnarray} f(x_1^0,...,x_n^0) = c_0 \end{eqnarray}$ auf "auf steilstem Weg" bergab zum Wert $\begin{eqnarray} f(x_1^1,...,x_n^1) = c_1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} c_1 < c_0 \end{eqnarray}$ , begeben ("Gradientenabstieg"). Ich suche nun die Werte $\begin{eqnarray} (x_1^1,...,x_n^1) \end{eqnarray}$ . Offenbar muss ich eine Umkehrfunktion bilden. Im eindimensionalen Fall wäre schlicht zu logarithmieren und nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aufzulösen. Wie aber geht es in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Dimensionen? Es müsste dann doch relativ einfach sein, $\begin{eqnarray} (x_1^1,...,x_n^1) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Allein, bei mir will der Groschen nicht fallen. Kann jemand helfen? Es ist eine anwendungsbezogene Frage aus dem Berufsalltag, ich bin schon seit vielen Jahren nicht mehr an der Uni, also sorry, falls nicht alles perfekt ausformuliert ist.
12.01.2019, 00:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \mathbf x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f(\mathbf x) \end{eqnarray}$ das Skalarfeld an der Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf x \end{eqnarray}$ . Das Gradientenverfahren ist nun die rekursive Vorschrift $\begin{eqnarray} \mathbf x^{k+1} = \mathbf x^k - a_k\nabla f(\mathbf x^k), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a_k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_k>0 \end{eqnarray}$ die Skalierung der Schrittweite ist. Ausgeschrieben schaut die Vorschrift so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1^1 \\ \ldots\\ x_n^1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1^0 \\ \ldots\\ x_n^0\end{pmatrix} + a_0 \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,\ldots,x_n^0) \\ \ldots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1^0,\ldots,x_n^0)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das eigentliche Problem ist die Bestimmung der Schrittweitenskalierung $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ . Der negierte Gradient ist ein Vektor $\begin{eqnarray} \mathbf v=-\nabla f(\mathbf x^0) \end{eqnarray}$ , im Definitionsbereich (nicht am Graphen des Skalarfeldes) an die Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf x^0 \end{eqnarray}$ angeheftet, und verschiebt die Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf x^0 \end{eqnarray}$ in die Richtung in der das Gefälle am größten ist zur Stelle $\begin{eqnarray} \mathbf x^1 \end{eqnarray}$ via $\begin{eqnarray} \mathbf x^1 = \mathbf x^0+\mathbf v \end{eqnarray}$ . Wenn stärker oder geringer verschoben werden soll, muss $\begin{eqnarray} \mathbf v \end{eqnarray}$ noch skaliert werden. Der Punkt auf dem Graphen des Skalarfeldes geht dabei wünschenswerterweise den Abhang hinunter, aber davon weiß $\begin{eqnarray} \mathbf v \end{eqnarray}$ nichts. Ich kann daraus nicht erkennen, dass eine Umkehrfunktion zu bestimmen wäre.
12.01.2019, 21:27	Zeno-2	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach ziemlich viel Recherche und Grübeln heute bin ich der Lösung, denke ich, auf der Spur. Das Stichwort heisst "Integralkurve" (siehe Wikipedia), wobei der Eintrag im englischen Wiki m.E. klarer ist. In meinem Fall ist das Vektorfeld durch den Gradient gegeben. Ich erhalte für die gesuchte Kurve (direkt vom Startpunkt zum Endpunkt) ein Differentialgleichungssystem, dass in meinem Fall sehr schön lösbar ist. Heute schaffe ich es nicht mehr alles in Latex zu gießen. Aber ich bin recht zufrieden für heute.

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