Stetigkeit Folgenabbildung

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stefol Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Folgenabbildung
Hallo

Sei f: IR ----> IR eine Funktion, die jede konvergente reelle Folge auf eine konvergente reelle Folge abbildet

Zu zeigen ist, dass f stetig ist.

Als Vorarbeit definiere ich mal zwei konvergente Folgen und mit und

Für den Beweis dachte ich an das Folgen- oder Epsilon-Delta-Kriterium.
Ich komme aber mit keiner von beiden Methoden auf einen grünen Zweig.

Hat da jemand eine Idee ?
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RE: Stetigkeit Folgenabbildung
Wenn , dann gilt das auch für die Folge
stefol Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ein und selbiges könnte man auch für die andere Folge machen.
Die Brücke zu den von mir erwähnten Kriterien kann ich leider noch nicht spannen - oder brauche ich diese hier gar nicht ?
Möchtest du darauf hinaus, dass ich mir die Folge in zwei Teilfolgen aufteile ?
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Ja, klar, zwei Teilfolgen.
stefol Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube (hoffe) ich habe jetzt eine Idee:

Angenommen f bildet alle ungeraden Glieder von auf alle ungeraden Glieder von und alle geraden Glieder von auf alle geraden Glieder von ab - bezogen natürlich auf die beiden Folgen und

Ich wollte jetzt gerade auf Lipschitz-Stetigkeit prüfen und daraus die Stetigkeit von f folgern, aber das führte auch wieder zu nichts... unglücklich

Sorry, hast du noch einen konkreteren Hinweis ehe ich mich hier weiter verrenne ?
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Weil konvergiert, gilt das nach Voraussetzung an f auch für die Folge . Also konvergiert auch jede Teilfolge davon und zwar gegen denselben Grenzwert. jetzt schaut man sich die Teilfolgen mit ungeraden bzw. geraden Folgenindizes an.
 
 
stefol Auf diesen Beitrag antworten »

Dann betrachte ich mal sowohl die ungeraden und geraden Teilfolgen von mit dem Folgenkriterium für alle reellen Grenzwerte a und b:

Für die ungeraden Glieder, also n=2k-1, gilt

Für die geraden Glieder, also n=2k, gilt

Daraus folgt dann die Stetigkeit von f.

Macht das Sinn oder ist es wieder Unsinn ? verwirrt
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Zitat:
Original von stefol
Dann betrachte ich mal sowohl die ungeraden und geraden Teilfolgen von mit dem Folgenkriterium für alle reellen Grenzwerte a und b:

Für die ungeraden Glieder, also n=2k-1, gilt

Da ist ziemlich viel schief gelaufen. Allein die Definition von ist unklar. Woher kommt dann das vorletzte Gleichheitszeichen? Das wäre doch gerade die Stetigkeit von f und die ist erst noch zu zeigen. Außerdem ergibt es keinen rechten Sinn, auf die Folgenglieder nochmal f anzuwenden.

Die Argumentation ist folgende: Man weiß, dass die Folge konvergiert. Ihren Grenzwert nenne ich . Dann konvergiert auch die Teilfolge gegen . Das gleiche gilt für die Teilfolge .Diese konstante Folge konvergiert aber offenbar auch gegen . Also ist und damit konvergiert die Teilfolge gegen . Das bedeutet, ist stetig in
stefol Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
...und damit konvergiert die Teilfolge gegen f(a)


Du hast also letztendlich gezeigt, dass und damit gilt letztendlich ebenso , wodurch die Stetigkeit in a und damit automatisch auch in ganz IR folgt.

Kann man das so formulieren ?

Ohne das Umschreiben der ursprünglichen Folge , würde der ganze Beweis ja gar nicht klappen.
Ist das ein üblicher "Trick" bzw. ein bestimmter Satz/Lemma oder hast du dir dieses Umschreiben mal eben ausgedacht ?
Ich frage nur, damit ich weiß, unter welchem Schlagwort ich das ggf. mal vertiefend nachlesen kann.

Danke schon mal soweit für deine Geduld und Erklärungen. Freude
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Das kann man so formulieren, ja. Diese Methode der Folgenmischung tritt immer wieder bei Eindeutigkeitsbeweisen auf, sie hat aber meines Wissens nach keinen offiziellen Namen. Sie ist einfach ein nützliches Werkzeug.
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