Eigenraum zu komplexem Eigenwert bestimmen

12.01.2019, 00:43	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum zu komplexem Eigenwert bestimmen Hallo zusammen, leider bin ich echt zu "blöd" den Eigenraum zu einem komplexen EW zu bestimmen, weil ich den Gauß-Algortihmus nicht hinbekomme. Aber konkret: Sei $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb R) \end{eqnarray}$ Ich habe das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} \chi_A = -X^3-\frac{2}{3}X^2+\frac{2}{3}X+1 =(X-1)(-X^2-\frac{5}{3}X-1) = -(X-1)\Bigg (\frac{-5+i\sqrt(11)}{6} \Bigg ) \Bigg (\frac{-5-i\sqrt(11)}{6}\Bigg ) \end{eqnarray}$ bestimmt. Den Eigenraum zum EW 1 zu bestimmen war wie gewohnt total einfach. Aber aus irgendeinem Grund tue ich mich total schwer bei dem komplexen EW. Hatte im Tutorium vor längerer Zeit den Tipp bekommen komplexe Eigenwerte erstmal als $\begin{eqnarray} \lambda =\frac{-5+i\sqrt(11)}{6} \end{eqnarray}$ zu setzen. Aber vielleicht mal zu meiner bisherigen Rechnung: $\begin{eqnarray} Eig(A,\lambda ) = Kern(A-\lambda\cdot E_3) = Kern(3A-3\lambda \cdot E_3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = Kern \Bigg (\begin{pmatrix} 2-3\lambda & 2 & 1 \\ 1 & -2-3\lambda & 2 \\ 2 & -1 & -2-3\lambda \end{pmatrix}\Bigg ) = Kern \Bigg (\begin{pmatrix} 1 & -2-3\lambda & 2 \\ 2-3\lambda & 2 & 1\\ 2 & -1 & -2-3\lambda \end{pmatrix}\Bigg ) = Kern \Bigg (\begin{pmatrix} 1 & -2-3\lambda & 2 \\ 0 & 2-(2-3\lambda)(-2-3\lambda) & 1-2(2-3\lambda)\\ 0 & -1-2(-2-3\lambda) & -2-3\lambda-4 \end{pmatrix}\Bigg ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = Kern \Bigg (\begin{pmatrix} 1 & -2-3\lambda & 2 \\ 0 & 2+4-9\lambda^2 & 1-4+6\lambda \\ 0 & 3+6\lambda & -6-3\lambda- \end{pmatrix}\Bigg ) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \lambda^2+\frac{5}{3}\lambda +1=0 \Leftrightarrow \lambda^2 = -\frac{5}{3}\lambda-1 \end{eqnarray}$ , gilt dann : $\begin{eqnarray} = Kern \Bigg (\begin{pmatrix} 1 & -2-3\lambda & 2 \\ 0 & 15-15\lambda & -3+6\lambda \\ 0 & 3+6\lambda & -6-3\lambda- \end{pmatrix}\Bigg ) \end{eqnarray}$ Und nun weiß ich nicht weiter , sehe nicht wie ich hier eine Null im Eintrag $\begin{eqnarray} a_{32} \end{eqnarray}$ erzeugen kann. Vielen Dank für jede Hilfe schonmal ! LG Snexx_Math
12.01.2019, 06:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne es bis dahin nachgerechnet zu haben, ganz stumpf: Ziehe das $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -fache der zweiten Zeile ab, wobei $\begin{eqnarray} \mu = \frac { 3 + 6 \lambda } { 15 - 15 \lambda} \end{eqnarray}$ . Wirst du sicher vereinfachen müssen bevor du damit sinnvoll arbeiten kannst, aber es sollte klar sein wie man vorgeht.

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