Gruppe aller Automorphismen von L, die jeden Punkt von K festhalten (Gal(L/K)

12.01.2019, 09:44	algebrafreak99	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe aller Automorphismen von L, die jeden Punkt von K festhalten (Gal(L/K) Meine Frage: Im Folgenden sei L/K eine Körpererweiterung und Gal(L/K) die Gruppe aller Automorphismen von L, die jeden Punkt von K festhalten. Ich soll zeigen, dass $Gal(L/K) \leq Gal(L/M)$ für jeden Zwischenkörper M gilt. Meine Ideen: Ich habe schon eine ungefähre Idee des Beweises, kann mir nur einen Schritt noch nicht erklären. Da M ein Zwisckenkörper ist, gilt $\begin{eqnarray} K \subset M \end{eqnarray}$ . Nach Definition: $\begin{eqnarray} Gal(L/M) = \{ \alpha \in Aut(L) : \alpha(m) = m \forall m \in M \} \end{eqnarray}$ . Damit die Behauptung stimmt, müsste somit auch $\begin{eqnarray} Gal(L/M) \subset \{ \alpha \in Aut(L) : \alpha(k) = k \forall k \in K \} = Gal(L/K) \end{eqnarray}$ gelten. Ich weiß allerdings nicht, warum dies gilt. Da $\begin{eqnarray} K \subset M \end{eqnarray}$ , müsste M doch mindestens alle Elemente von K enthalten, somit doch auch mindestens genau so viele Elemente, die der Automorphismus festhalten kann. Wieso gilt dann diese Teilmengenbeziehung?
12.01.2019, 11:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha\in Gal(L/M)\Rightarrow \alpha(m)=m\forall m\in M\Rightarrow \alpha(m)=m\forall m\in K\Rightarrow \alpha\in Gal(L/K) \end{eqnarray}$ Anmerkung: Es gefällt mir nicht, dass die Menge der Automorphismen, die einen Teilkörper von L elementweise fest lassen, als Gal(L/.) bezeichnet wird. Diese Bezeichnung ist eigentlich der Galoisgruppe vorbehalten, und wir wissen nicht, ob L/K galoissch ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »