Wahrheit oder Wissen |
| 13.01.2019, 09:45 | vidw | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wahrheit oder Wissen Hallo zusammen Mich würde eure Meinung zur Wahrheit und Wissen interessieren Ist das das gleiche? Ist die Mathematik wegen der Beweiskraft Wahrheit? und Physik ist dann nur Wissen MfG Meine Ideen: Wissen ist nicht automatisch Wahrheit Die Wissenschaft schafft nur Wissen aber das muss nicht immer die Wahrheit sein |
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| 13.01.2019, 10:16 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
von Wissen gibt es viele Stufen z.B. von meinem Wissen bis hin zu ... mit dem Wort Wahrheit und seiner Bedeutung tu' ich mir schwer. Oder anders gesagt: Mein Wissen über die Wahrheit ist sicher verbesserungsfähig 
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| 13.01.2019, 11:08 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Wissen https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheit |
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| 13.01.2019, 11:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
https://de.wikipedia.org/wiki/Logik https://de.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del https://de.wikipedia.org/wiki/Berechenbarkeitstheorie https://de.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing |
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| 13.01.2019, 12:16 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry ihr beiden, aber ernsthaft? Solche Beitrage kann man sich meines Erachtens wirklich sparen und dann gleich zwei davon hintereinander? Ich schreibe diesen Beitrag, damit der Fragesteller, sollte er sich fragen, was das soll, nicht denkt, dass er alleine mit dieser Meinung dasteht. |
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| 13.01.2019, 12:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tut mir leid, die Frage ist gut, sie ist so gut, dass man sie nicht mit einer kurzen Antwort beleidigen möchte. Die Frage ist so offen, dass man ein Leben lang darüber nachdenken kann ohne einer Antwort wesentlich näher zu kommen. Die Hinweise auf Logik und Berechenbarkeit waren ernst gemeint, man muss sich damit befassen um wenigstens den Grundbegriffen auf die Spur zu kommen. Wenn es gestattet ist, möchte ich noch eine Hinweis zur Literatur nachschieben: Das zur Zeit beste Buch zum Thema Beweisbarkeit, Wahrheit und Berechenbarkeit ist für mich Dirk W. Hoffmann "Grenzen der Mathematik". |
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| 13.01.2019, 15:33 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Aussage "p" ist wahr gdw. p, also zB ist "1+1=2 für IN, +" wahr gdw. 1+1 in IN+ wirklich 2 ergibt. Eine Aussage "p" ist beweisbar wahr, wenn es unmöglich ist, dass p nicht wahr ist. Danach wäre (auch) in der Mathematik nichts beweisbar, weil es natürlich immer möglich ist, dass die Welt trivial oder sonst freakig ist und wir das nur nicht mitbekommen. Deshalb schränkt man die Beweisbarkeit nochmal ein: Eine Aussage "p" ist beweisbar wahr, wenn es logisch oder tatsächlich unmöglich ist, dass p nicht wahr ist. Jetzt kann man Beweise führen. In der Mathematik spielt das "tatsächlich" keine Rolle, weil dort so getan wird, als ob das, was man annimmt auch ist. Deshalb kann der Mathematiker (fast) immer Beweise führen, weil sich zB die Wahrheit von "1+1=2 für IN,+" allein aus gewissen Axiomen ergibt, so dass man die Wahrheit beweisen kann, wenn man ebenjene Axiomen korrekt und Schritt für Schritt "abläuft". Natürlich ist das vereinfacht: es gibt auch in der Mathematik unbeweisbare Wahrheiten (der Gödelsatz ist so eine). Man hat aber den Vorteil gegenüber den Naturwissenschaften, dass die Empirie keine Rolle spielt (weil man das einfach so festlegt). |
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| 13.01.2019, 17:46 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gödelschen Un-/Vollständigkeitssätze sind beweisbar. |
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| 13.01.2019, 17:48 | G130118 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie beweist man die Beweisbarkeit? |
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| 13.01.2019, 18:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz kann man die Beweisbarkeit im allgemeinen für starke formale Systeme nicht beweisen. Es gibt für starke formale Systeme immer einen Satz so dass weder noch gilt. Die Beweisbarkeit eines bestimmten Satzes beweist man indem man diesen Satz in einem formalen System beweist. |
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| 13.01.2019, 18:03 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Durch Angabe eines Beweises. Statt von der Existenz "unbeweisbarer Wahrheiten in der Mathematik" sollte man im übrigen besser von der Existenz unvollständiger Systeme sprechen. |
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| 13.01.2019, 18:55 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ersteres ist (vielleicht?) eine Instanz der prädikatenlogischen Modellrelation (Semantik), mit zweiterem ist (vielleicht?) Ableitbarkeit (Syntax) gemeint.
Die Eigenschaften eines Prädikats für Beweisbarkeit lassen sich axiomatisieren. Dies führt zu modalen Erweiterungen von Aussagen- oder Prädikatenlogik. Ähnlich wie andere Modallogiken haben diese Beweisbarkeitslogiken Modelle in (geeigneten) Kripke Frames (siehe z.B. Stanford Encyclopedia of Philosophy: Provability logic). |
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| 13.01.2019, 22:24 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich spreche vom Gödelsatz, also dem "Ich bin unbeweisbar" (natürlich bei Gödel eine codierte Zahl). Diese Aussage ist in der PM, die Gödel untersuchte, unbeweisbar und deshalb wahr (weil sie sagt, sie sei unbeweisbar, was sie auch ist, wie Gödel beweist). Ich würde dir zustimmen: Wahrheit ist ein (semantisches) Modell, Beweisbarkeit ist (syntaktische) Ableitbarkeit. Deshalb will man auch, dass beide sich aufeinander beziehen. Es wäre sinnlos, ein Modell (Wahrheit) zu haben, aber kein Kalkül, um damit das Modell zu beweisen, genauso wie wenn das, was man beweist, im Modell gar nicht gilt - das wäre ein inkorrekter Beweiskalkül. Also am Bsp.: Im Modell der natürlichen Zahlen, welches sich durch Peano-Axiome und mp ergibt, ist 1 der Nachfolger von 0. Das ist wahr. Um diese Behauptung zu beweisen, schaut man sich die Axiome und Schlussregel an und leitet Schritt für Schritt die Aussage ab. Soweit man weiß, dass diese Schritt-für-Schritt-Ableitung immer nur korrekte Ergebnisse bringt, also immer Tautologien, kann man ihr auch dahingehend vertrauen, dass sie tatsächlich zeigt, was im Modell gilt. In der Mathematik gilt die Besonderheit, dass Wahrheit und Beweisbarkeit dicht beieinander liegen. Dass 1 der Nachfolger von 0 ist gilt in IN gerade durch die Axiome als (semantische) Wahrheit und genau die Axiome sind es, mit denen man diese Wahrheit (syntaktisch) zeigt. In den empirischen Wissenschaften ist der Abstand zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit größer, weil dort eine dritte Komponente dazukommt, die der Mathematiker gerade ausschließt, nämlich: ist es wirklich so, wie die Wahrheit suggeriert und der Beweis zu zeigen scheint. |
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| 13.01.2019, 22:41 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Wahrheit oder Wissen Hallo vidw, Wahrheit ist exakt das, was gewesen ist. Wissen ist bedingte Wahrheit. Grüße Romaxx |
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| 13.01.2019, 23:10 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mitnichten, der Gödelsatz ist weder beweis- noch widerlegbar, mithin unabhängig vom entsprechenden System (PM, PA, RA...). Das Phänomen reproduziert sich auch, wenn man den Gödelsatz (oder seine Negation) als Axiom hinzunähme. Das neu entstehende System enthielte wieder einen von ihm unabhängigen Gödelsatz.
Es gibt nicht das Modell der natürlichen Zahlen, sondern unendlich viele. |
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| 14.01.2019, 00:22 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, aber eben genau deswegen wahr (denn er sagt gerade, dass er weder beweis- noch widerlegbar ist). Er ist ein Beispiel für einen wahren Satz, dessen Wahrheit wir nicht beweisen können. Deswegen heißt Gödels Ergebnis auch "Unvollständigkeit", weil eben daraus folgt, dass so ein System nicht vollständig ist, d.h. nicht jeder wahre Satz einen Beweis hat. So verstehe ich es zumindest.
Es gibt mE nur ein Modell der natürlichen Zahlen, nämlich wie durch PA, +, * definiert und mit der Interpretation von 'n' als Zahlen. Ok, du könntest jetzt sagen, ein Modell mit Binärschreibweise der Zahlen und ein Modell mit Dezimalschreibweise der Zahlen, ein Modell mit arabischen Ziffern, ein Modell mit Strichen usw. seien alles verschiedene Modelle der natürlichen Zahlen. Meinst du das? Ich kenne es eher so, dass die Axiome unendliche viele Modelle zulassen, weil du zB die Peano-Axiome statt auf Zahlen auf Dominosteine anwenden kannst und dann hast du damit schonmal zwei Modelle usw. |
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| 14.01.2019, 01:45 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nehmen wir an (!), PA sei konsistent. Dann gilt der Gödelsatz für PA im Standardmodell. Man könnte aber PA auch um die Verneinung des Gödelsatzes für PA erweitern. Diese Theorie wäre immer noch konsistent.
Nein, das wäre Isomorphie, aber Nichtstandardmodelle sind gerade nicht isomorph zum entsprechenden Standardmodell (aber dennoch Modelle für dieselbe Theorie). Bis auf Isomorphie gibt es nur ein Standard-Modell für Peano-Arithmetik erster Stufe, die guten alten (Standard-)natürlichen Zahlen . Aber es gibt (z.B. wegen des Kompaktheitssatzes, des Satzes von Löwenheim-Skolem oder der obigen Folgerung aus der Unvollständigkeit) Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik (sogar unendlich viele). In Arithmetik zweiter Stufe hingegen sind die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig charakterisiert. |
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| 14.01.2019, 03:02 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das verstehe ich nicht, dadurch würde doch PA inkonsistent, weil G und ~G gilt. 
Verständnisfrage: Modell = Axiome + Schlussregeln + Interpretation der Axiome, richtig? Da sowohl Standard- als auch Nichtstandardmodelle die gleiche PA erster Stufe benutzen, muss der Unterschied allein in der Interpretation liegen, doch damit müssten alle Modelle "im Prinzip" gleich sein, also xyz-morph sein, nicht?.
...dafür aber unvollständig, währed IN mit PA erster Stufe immerhin vollständig ist. Richtig? |
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| 14.01.2019, 08:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@vidw,@Romaxx Ferdinand von Lindemann hat 1882 bewiesen, dass transzendent ist. Die Transzendenz von ist eine absolute und zeitunabhaengige Wahrheit. Das Wissen über diese Wahrheit haben alle Menschen, die diesen oder einen anderen Beweis verstehen. Wer keinen Beweis versteht, kann an die Wahrheit glauben oder auch nicht. Wahrheit ist absolut, Wissen ist individuell. |
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| 14.01.2019, 09:39 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gödels Beweise beweisen, dass die Unvollständigkeitssaetze wahr sind. Die obige Diskussion zwischen Pippen und zweiundvierzig beweist, dass einer der beiden Wissen besitzt und der andere nicht. Wahrheit ist absolut, Wissen ist individuell. |
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| 14.01.2019, 13:25 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich behaupte, dass diese Aussage nur dann wahr ist, wenn diese Wahrheit von einem Individuum in der Zeit verstanden wurde. Daher ist Sie nicht zeitunabhängig. Warum? Wir wüssten nicht einmal über was wir reden. Defakto ist Sie nicht wahr, bevor nicht ein Individuum Träger dieser Gewissheit ist. Das Wissen um diese Wahrheit durch Verstehens eines Beweises, macht einen selbst zum Träger dieser Wahrheit. Defakto existieren für mich Wahrheiten nicht unabhängig vom Menschen. Das anzweifeln zu wollen, würde einer Offenbarung gleichkommen. |
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| 14.01.2019, 13:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als platonischer Mathematiker sehe ich das anders. war schon den alten Griechen bekannt, sogar schon meinem "Uropa" in der Steinzeit, der das Rad erfunden hat. Er wußte nichts von , aber das Rad war rund und hatte das entsprechende Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, und dieses Verhältnis war transzendent. Sekunden nach dem Urknall war das Universum rund, war in der Welt und war transzendent. Auch ohne Universum ist transzendent, das ist eine ewige Wahrheit, selbst wenn es kein Ewigkeit gibt. |
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| 14.01.2019, 19:58 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das geht alles den Bach runter, wenn unsere Logik falsch sein sollte, zB sowas Banales wie ein unzuverlässiger mp: wenn a und a -> b, dann manchmal ~b. Pi wäre dann nicht transzendent, weder für uns noch sonst wie. Ganz zu schweigen von Romaxx' erheblichen Einwänden. Auch in der Mathematik stochern wir letztendlich im Dunkeln. |
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| 14.01.2019, 20:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich nicht, weil ich in einem Seminar 3 Stunden lang den Lindemannschen Beweis vorgeführt habe. 
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| 14.01.2019, 21:04 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man hört schon heraus, das du in der Mathematik deinen heiligen Gral gefunden hast. Letztendlich bleibt es jedem offen was er denkt. Mathematik basiert auf einfachen Regeln. Zählen, klassifizieren, Geometrie. Vielleicht ist alle Mathematik nur eine menschengewonne Art das kulturelle und gesellschaftliche Leben, daß wir bis dato erreicht haben, zu ordnen und zu strukturieren. So würde mit der Entwicklung der Gesellschaft auch die Art zu denken wandeln. In 10000 Jahren denken unsere Nachfahren über Pi und Transzendenz und Mathematik wie wir heute über unsere Vorfahren, die nicht besser wussten als sich ein Götzenbild zu schaffen. |
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| 14.01.2019, 21:15 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Er ist nur in bestimmten Modellen der Peano-Arithmetik wahr. Es ist konsistent mit PA, den Gödelsatz zu refutieren. Daher gibt es aus prinzipiellen Gründen (!) Modelle für eine solche Theorie. Diese Modelle sind zwar notwendigerweise Nichtstandardmodelle, aber es gibt sie.
Füge zur Sprache von PA ein neues Konstantensymbol hinzu. Erweitere die Theorie der Peano-Arithmetik um die Formeln für alle ( das -te Numeral). Die neue erweiterte Theorie hat die Eigenschaft, dass jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. Wegen des Kompaktheitssatzes ist sie dann als ganzes erfüllbar, also existiert ein Modell für die neue Theorie, das gleichzeitig auch ein Modell für PA ist. Das Modell enthält aber "Nichtstandardzahlen", die größer sind als jede standard-natürliche Zahl. |
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| 14.01.2019, 22:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Romaxx Ich stimme dir zu, dass Mathematik eine historisch bedingte menschliche Kulturleistung ist. Andererseits fühlt sie sich für uns an wie eine eigenständige Welt, die wir zunehmend entdecken. Weil wir dauerhaft Vergnügen haben, diese Welt zu erforschen und weil Mathematik unendlich viel zu bieten hat, glaube ich, dass Menschen sich solange mit Mathematik beschäftigen werden, wie es Menschen gibt. So wie Euklid heute noch genau so wahr ist wie vor mehr als 2000 Jahren, so werden unsere heutigen mathematischen Theorien als Teil umfassenderen Wissens und tieferer Einsichten Bestand haben - wir Mathematiker sind unsterblich, den nichtexistenten Göttern gleich. |
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| 14.01.2019, 23:47 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit hast du aber bereits ein anderes Modell. Das Standardmodell der nat. Zahlen braucht PA und die Interpretation von 'n' als Zahlen 0,1,2,.... ME besteht jedes Modell aus zwei Dingen: Axiome & Schlussregeln und Interpretation der Zeichen der Axiome und Schlussregeln. Insoweit ist das Standardmodell der nat. Zahlen mit o.g. Struktur alleinstehend, es gibt andere Modelle, die man halt Nichtstandardmodelle nennt. So sehe ich das, d.h. nach meiner Lesart können Axiome/Schlussregeln zwar viele Modelle haben (weil sie verschieden interpretiert werden können), aber das Standardmodell IN kann nicht ein Nichtstandardmodell beherbergen, das würde zu Widersprüchen führen. Allerdings kann es leicht sein, dass ich hier Begrifflichkeiten unüblich verwende. Wie siehst du das? |
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| 14.01.2019, 23:51 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist in der Tat auch ein guter Grund, sich mit Mathematik zu beschäftigen. Empirisches Wissen ändert sich beständig, was waren vor 5.000 Jahren die Menschen doch aus heutiger Sicht dumm und in 5.000 Jahren werden unsere Nachfahren das Gleiche wohl über uns sagen. Doch mathematisches Wissen bleibt. Euklid's Sätze waren wahr, sind wahr und werden ziemlich sicher (ganz sicher kann man nie sein) wahr bleiben, man kann also durch Mathematik etwas, was einem sonst verwehrt bleibt. |
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| 15.01.2019, 00:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein.
Ja. Diese Modelle können dennoch benutzt werden, um Unabhängigkeitsbeweise zu führen, wie etwa im Falle des Gödelsatzes (PA), der Kontinuumshypothese (ZFC) etc. |
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| 15.01.2019, 02:30 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Peano-Arithmetik ist, sofern sie konsistent ist, eben nicht vollständig, siehe Gödel. |
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| 15.01.2019, 22:07 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn sie aber in PL erster Stufe formuliert ist, dann muss sie vollständig sein, weil PL erster Stufe vollständig ist, Gödel's Vollständigkeitsbeweis. Aber ich habe wohl übersehen, dass PA eben nicht nur in PL erster Stufe, sondern in PL erster Stufe plus mind. eine Konstante formuliert ist und dann hast du natürlich recht. Nochmal zum Modellbegriff, ich will das verstehen: Bsp.: x=x, x stehe für alle fiktiven Schweine. Da haben wir ein Axiom und eine Interpretation. Ein Modell wäre zB Miss Piggy. Ein anderes Modell wäre das Schwein 'Snowball' aus Orwell's Geschichte. Donald Trump wäre kein Modell. Kann man das so sagen? Modell wäre dann einfach ein umständliches Konstrukt für Wahrheit. |
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| 16.01.2019, 00:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit Modell meine ich Modell einer FO-Theorie (genauer: -Theorien für beliebige Signaturen ). Eine Theorie ist eine Menge von Sätzen (aka Formeln ohne freie Variablen). Ein Modell für eine Theorie ist eine Struktur, die alle Sätze der Theorie erfüllt.
Nein. Der Gödelsche Vollständigkeitssatz und der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz sprechen über zwei unterschiedliche Konzepte, die beide "Vollständigkeit" genannt werden. Gödels Vollständigkeitssatz bezieht sich auf FO-Kalküle: Ein Kalkül heißt vollständig, wenn aus semantischer Konsequenz syntaktische Konsequenz folgt. Das bedeutet: Wenn alle Modelle, die eine Formelmenge erfüllen, auch eine Formel erfüllen, dann folgt syntaktisch bereits aus . In Zeichen: impliziert . Wenn die umgekehrte Implikation gilt, spricht man von der Korrektheit des entsprechenden Kalküls (relativ zu dem die syntaktische Konsequenz definiert ist!). Gödels Unvollständigkeitssatz bezieht sich auf Theorien. Eine Theorie heißt vollständig, wenn für jeden Satz gilt oder .
Das hat nichts mit der Signatur zu tun, die obigen Betrachtungen gelten für beliebige FO-Signaturen, s. Anfang. Edit:
Die Formel ist kein Axiom, da sie nicht geschlossen ist. Edit: Korrektur mit Dank an index_razor (s.u.). |
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| 17.01.2019, 02:12 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@42: Ok, also für alle x gilt: x = x, x der Menge von Menschen. Dieses Axiom und seine Interpretation durch Angabe der Grundmenge von x wäre also eine Theorie, richtig? Was wäre jetzt ein Modell? Wärest du, 42, bereits ein Modell und ich ein Modell usw. oder nur alle Menschen gemeinsam? Kein Modell wären sicherlich Zahlen, weder alle Zahlen noch Zahlen wie 1 oder Pi, richtig? Zu Gödel: Wenn ich dich richtig verstehe, dann sagst du Gödel habe mit seinen Unvollständigkeitssätzen "nur" bewiesen, dass in Theorien gewisser Stärke mind. ein Satz existiert, der weder in T ist noch dessen Negation in T ist. ME hat Gödel aber vor allem beweisen, dass mind. bei einem Satz weder er noch sein Gegenteil aus PM ableitbar sind und zwar sein (G)ödelsatz, also ~(PM |- G) und ~(PM |- ~G). Genau dadurch wäre G wahr, also PM |= G, so dass folgt: (PM | = G) => ~(PM |- G) und das wäre auch ein Fall der "normalen" Unvollständigkeit. Oder wo läge da mein Denkfehler? Vllt. sprengt das den Rahmen, aber ich habe mir mal vor einiger Zeit mit all meiner Laienhaftigkeit den Gödel'schen Beweis zusammengereimt, vllt. kannst du mal deine Meinung sagen, inwieweit das taugt und ob es Gödel's Beweisidee halbwegs trifft oder falsch versteht/widergibt bzw. Korrekturen reinschreiben, wobei zu bedenken ist, dass ich damit Gödel auf einfaches Niveau runterbrechen wollte, also technische Details bewusst "planiere".
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| 17.01.2019, 14:48 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe oben gesagt, was ein Modell ist.
Diese Aussagen sind gleichbedeutend (für alle geeigneten Theorien T, nicht nur PM).
Nein. Es ist nicht wahr, dass gilt. Dazu müsste in jedem Modell für PM der jeweilige Gödelsatz gelten. Das ist eben nicht der Fall. Vielmehr ist der Gödelsatz unabhängig von PM (s.o.). Dann sind sowohl "PM + G" wie "PM + ~G" konsistent und haben daher beide ein Modell. Insbesondere gibt es also ein Modell für PM, das den entspr. Gödelsatz von PM falsifiziert. Die Aussage, ein Gödelsatz sage über sich aus, er sei nicht beweisbar, sollte man mindestens cum grano salis nehmen. Und sicherlich lässt sich ein Gödelsatz nicht auf diese Art natürlichsprachlich definieren. |
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| 17.01.2019, 19:05 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ist 'zweiundvierzig' in o.g. Theorie ein Modell?
Der Gödelsatz lautet versprachlicht: "Diese Aussage ist nicht beweisbar". Dieser Satz ist wahr, weil er nicht beweisbar ist, denn wäre er beweisbar, dann widerspräche er sich selbst. Der Gödelsatz scheint mir daher eine Tautologie zu sein, also: |= G und damit erst recht PM |= G. |
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| 17.01.2019, 19:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Immer noch nicht. |
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| 17.01.2019, 22:56 | index_razor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst sicher "...wenn für jeden Satz gilt oder ". (Wenn ich mich richtig erinnere ist eine Theorie T eine Menge von Sätzen, so daß für jeden Satz gilt, wenn , dann . Damit wäre dies wohl der für den Unvollständigkeitssatz relevante Begriff.) |
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| 17.01.2019, 23:11 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich, danke für die Korrektur.
Der allgemeinere Begriff einer Theorie ist eine Menge von Sätzen (ohne Abschlusseigenschaften). Die von dir erwähnte Eigenschaft nennt sich deduktive Abgeschlossenheit. Die Theorien, auf die sich die Gödelsche Unvollständigkeitssätze beziehen sind die deduktiven Abschlüsse der jeweiligen Menge von Axiomen (Peano-Axiome etc.). |
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| 18.01.2019, 02:01 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich sehe es nicht, genauso beweist man auch, dass zb der Satz "Alle Aussagen sind falsch" falsch ist und nicht wahr. G ist entweder beweisbar oder nicht beweisbar. Ist G beweisbar, dann Widerspruch, also muss er nicht beweisbar sein, was er auch sagt, so dass er wahr ist. Das klingt für mich lupenrein. Wo liegt in dieser Argumentation der Fehler? |
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