Stone - Weierstraß

13.01.2019, 11:16

Burunduk

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Stone - Weierstraß

Meine Frage:
Ich lese gera ein Artikel mit dem Titel ''A Stone-Weierstrass Theorem Without Closure Under Suprema'', der unter der folgenden Seite zu finden ist:
https://authors.library.caltech.edu/81084/
Ich versteh die zwei kleinen Beispiele auf den Seiten 2-3 nach Thoerem 4 nicht. Wieso trennt A z.B. nicht die Wahrscheinlichkeitsmaße beim ersten Beispiel? Die Zeile mit den Integralen, wieso also das eine gleich 0 und das andere größer als 0 ist, verstehe ich nicht.
Auch beim zweiten Beispiel verstehe ich nicht, wieso A Punkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen nicht trennt. Falls sich das jemand von euch anschauen möchte und es mir dann erklären, wäre ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
Dass beim ersten Beispiel das erste Integral gleich 0 ist hab ich mir so überlegt: $\begin{eqnarray*} \int(x-y)^{2}d\delta_{y}(x)=\int x^2-2xy+y^2d\delta_{y}(x)=y^2-2y^2+y^2=0 \end{eqnarray*}$ . Bei anderen Fragen steh ich leider auf dem Schlauch.

13.01.2019, 12:12

Guppi12

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Hallo,

zunächst mal geht es beim ersten Beispiel soweit ich es verstanden habe nicht darum, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht die Wahrscheinlichkeitsmaße trennt, sondern es geht darum, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsmaße von Punkten trennt.

Dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht Wahrscheinlichkeitsmaße voneinander trennt, wird dort nur über das Theorem 3 gezeigt, nicht anhand einer Rechnung.

Warum das erste Integral gleich 0 ist, hast du dir ja schon überlegt, auch wenn das ausmultiplizieren nicht notwendig und eher kontraproduktiv war. Wieso hast du nicht einfach $\begin{eqnarray*} \int(x-y)^2 d\delta_y(x) = (y-y)^2 = 0 \end{eqnarray*}$ gerechnet?

Das rechte Integral ist ungleich 0, denn angenommes es wäre $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Dann muss $\begin{eqnarray*} x\mapsto (x-y)^2 \end{eqnarray*}$ als positive Funktion $\begin{eqnarray*} \mu- \end{eqnarray*}$ fast überall $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein. Das heißt, $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus\{y\} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Nullmenge. Nun kann man einfach ausrechnen, dass für $\begin{eqnarray*} B\subset [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mu(B) = \mu(B\setminus\{y\})+\mu(\{y\}\cap B) = \mu(\{y\}\cap B) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt sofort

$\begin{eqnarray*} \mu(\{y\}) = \mu(\{y\}\cap[0,1]) = \mu([0,1]) = 1 \end{eqnarray*}$ und für jede Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\notin B \end{eqnarray*}$ folgt sofort
$\begin{eqnarray*} \mu(B) = 0 \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} \mu = \delta_y \end{eqnarray*}$ sein.

Dass das zweite $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht die Wahrscheinlichkeitsmaße von Punkten trennt, ist auch ziemlich einfach zu sehen.
Das kannst du mal für $\begin{eqnarray*} \mu = \frac 12(\delta_0+\delta_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ nachrechnen.

13.01.2019, 13:10

Burunduk

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Stone-Weierstrass
Danke für die Antwort! Hilft mir auf jeden Fall schon mal weiter.

13.01.2019, 14:43

Burunduk

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RE: Stone-Weierstrass
Sorry Gruppi12, aber kannst du mir eventuell schreiben wie du das mit $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{1}{2}\cdot(\delta_{0}+\delta_{1}) und \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ausrechnen würdest. Ich hatte leider Maßtheorie noch nicht und versuch gerade mir mit Internet alles zu erklären

13.01.2019, 14:48

Guppi12

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Integrale sind linear bezüglich des Maßes nach dem integriert wird, das heißt

$\begin{eqnarray*} \int f d\mu = \frac 12\int fd \delta_0+\frac 12\int fd\delta_1 \end{eqnarray*}$ . Du weißt ja, wie man Integrale nach Punktmaßen berechnet, wie du oben ausgeführt hast, also solltest du damit das Integral $\begin{eqnarray*} \int fd\mu \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} f\in A \end{eqnarray*}$ bestimmen können. Genauso das Integral $\begin{eqnarray*} \int fd\delta_{\frac 12} \end{eqnarray*}$ .

13.01.2019, 14:56

Burunduk

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Nochmals, vielen dank!

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13.01.2019, 16:04

Burunduk

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Ich könnte dann für f einfach x nehmen, also:
$\begin{eqnarray*} \int xd\mu=1/2\int xd\delta_{0}+1/2\int xd\delta_{1}=1/2 \end{eqnarray*}$ .
Oder?
Bei $\begin{eqnarray*} \delta_{1/2} \end{eqnarray*}$ kommt dann auch 1/2 raus.

13.01.2019, 16:20

Guppi12

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Nein kannst du nicht, in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt es schließlich noch andere Funktionen als $\begin{eqnarray*} x\mapsto x \end{eqnarray*}$ .

Eine allgemeine Funktion in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R, x\mapsto ax+b \end{eqnarray*}$ .

13.01.2019, 16:54

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@Guppi12: Reicht das wirklich nicht aus? Es ist doch $\begin{eqnarray*} \int b\,d\mu=b \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

13.01.2019, 17:00

Burunduk

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Alles klar, ich hab nur gedacht, da es sich hier um eine Art ''Widerspruchsbeweis'' handelt, brauch ich nur eine Funktion zu finden, für die das Integralergebnis bei zwei verschiedenen Maßen gleich ist. Setz ich die allgemeine Funktion ein, dann kommt jeweils 1/2a+b raus.

13.01.2019, 17:01

Burunduk

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Stimmt das?

13.01.2019, 17:05

Guppi12

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Ich finde nicht, ist aber, wie sich durch deinen Einwand zeigt, wohl Ansichtssache.

Dafür muss einem klar sein, dass das
1. für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß richtig ist
2. es reicht, die gewünschte Eigenschaft auf einer Basis nachzurechnen.

Für mich sieht es so aus, als würde Burunduk diese Sachen zwar verstehen, wenn er darüber nachdenkt, aber es sieht für mich nicht so aus, als wäre ihm das alles klar gewesen, als er schrieb

Zitat:

Ich könnte dann für f einfach x nehmen

Das sah für mich nach dem typischen. "Kann ich für eine allgemein zu zeigende Aussage nicht einfach einen Spezialfall angucken und dann sagen, dass der allgemeine Fall gilt?" aus.

Aber wie gesagt, ist nur mein Eindruck.

13.01.2019, 17:10

URL

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So hätte ich in der Tat argumentiert, war mir dann aber angesichts deines kategorischen "Nein" nicht mehr sicher, ob ich etwas übersehen habe smile

smile

Deinen Eindruck teile ich allerdings durchaus.

13.01.2019, 17:17

Burunduk

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Der Eindruck stimmt auch, ist mir erst im nachhinein aufgefallen, das mit dem ''Widerspruchsbeweis''. Sorry für meine falsche Formulierung.

13.01.2019, 17:17

Guppi12

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Zitat:

So hätte ich in der Tat argumentiert

Davon war ich ausgegangen smile

smile

Zitat:

Stimmt das?

Ja, das Ergebnis ist richtig. Du hast damit gezeigt:

Für jedes $\begin{eqnarray*} f\in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int f d\mu = \int f d\delta_{\frac 12} \end{eqnarray*}$ .

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Punkte von den Wahrscheinlichkeitsmaßen trennen würde, müsste ja $\begin{eqnarray*} \mu = \delta_{\frac 12} \end{eqnarray*}$ gelten, was aber offenbar nicht der Fall ist.

Zitat:

Alles klar, ich hab nur gedacht, da es sich hier um eine Art ''Widerspruchsbeweis'' handelt, brauch ich nur eine Funktion zu finden, für die das Integralergebnis bei zwei verschiedenen Maßen gleich ist.

Du musst dir bei jedem Beweis die zu zeigende Aussage genau ansehen und nicht in Kategorien denken wie: "Widerspruchsbeweis, also reicht ein Gegenbeispiel." Das führt oft zu Fehlern und ist in der Allgemeinheit auch einfach falsch.

Hier ist es zum Beispiel so, dass in der Tat ein Gegenbeispiel reicht, dieses ist aber das Paar der Objekte $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ . Für dieses Paar ist dann eine Aussage zu zeigen, die für alle Funktionen aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ richtig sein muss.

Du siehst, es ist leider nicht immer so einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Sorry für meine falsche Formulierung.

Dafür brauchst du dich nun wirklich nicht entschuldigen. Du hast ja nicht absichtlich einen Fehler gemacht. Wenn jeder, der hier fragt, immer alles wissen würde, bräuchte er ja gar nicht fragen smile

smile

13.01.2019, 17:24

Burunduk

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Ich danke dir, Gruppi12, für deine Antworten und die Geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2019, 17:09

Burunduk

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Hallo, versuche gerade in demselben Artikel den Beweis des Theorems 4 auf den Seiten 5-7 zu verstehen. Die Hinrichtung kann ich nachvollziehen, allerdings die Rückrichtung nicht.
1. Ich versteh nicht, dass man aus A ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} \int gd\mu=0 \end{eqnarray*}$ folgert.
2. Es ist mir nicht ganz klar wieso bei $\begin{eqnarray*} \mu^{+}=\delta_{y}, \ \mu^{+}=\delta_{y} \end{eqnarray*}$ (2) und $\begin{eqnarray*} \mu\neq0 \end{eqnarray*}$ der (6) widersprechen.
3. Wird $\begin{eqnarray*} \Psi\cap N_{\delta}(y)=\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu^{-}(\Psi)>0 \end{eqnarray*}$ einfach nur angenommen oder ist das eine Folgerung von etwas?
4. Wie kann bei (7) $\begin{eqnarray*} K\int_{\Psi}d\mu^{-}>1 \end{eqnarray*}$ sein?
5. Ganz zum Schluß: aus (a)-(c) folgt $\begin{eqnarray*} f_{n}\in U(y,\varepsilon_{0},\delta)\subseteq U(y,\varepsilon_{0},\delta_{0}) \end{eqnarray*}$ , dass die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \rho(x,y)>\delta\Rightarrow f(x)\geqslant1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ist mir klar, abe wie $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ versteh ich leider nicht.

Ich wäre euch echt dankbar, wenn sich jemand von das mal anschaut und mir meine Fragen beantworten kann, auch wenn nicht alle.

16.01.2019, 17:45

Guppi12

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Mach dafür am besten Mal einen neuen Thread auf, ich habe gerade keine Zeit, mir das anzusehen.

16.01.2019, 18:03

Burunduk

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Ok, danke dir!
Es ist nicht sehr dringen, wenn du dann evetuell noch bis Anfang nächste Woche Zeit und Lust hast, dann freu ich mich, wenn du antwortest.

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