Diagonalmatrix

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MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix
Gegeben sei die hermitesche Matrix A= .

Welche Matrix U diagonalisiert A?

Meine Idee:

A*U=1

die Eigenwerte von A berechnet

det (A-*I)= 0

und man kommt auf =+1
=-1.

=> das charakteristische Polynom zerfällt eindeutig in Linearfaktoren:

(1- )=0
(1+))=0

Die Diagonalmatrix lautet:

D= .

Ich habe jetzt nicht auf die geometrische und algebraische Vielfachheit der Eigenwerte und der Eigenvektoren untersucht. Ist dies denn notwendig und stimmt die obige Rechnung?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
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RE: Diagonalmatrix
A ist symmetrisch also auch diagonalisierbar. Insofern kann man sich die Betrachtung der Vielfachheiten sparen. Hier ist es aber auch offensichtlich, weil das char. Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Deine Rechnung ist richtig. Ich sehe allerdings nicht, was die Gleichung A*U=1 nützen soll.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit symmetrisch meinst Du doch quadratisch, oder?

Mit A*U=I

Wollte ich nur zeigen, dass bei Multiplikation beider Matrizen anschließend die Identitäsmatrix rauskommt.

Edit: eine Matrix für die A=A^T gilt, heißt symmetrisch?

ich vertausche die erste Zeile mit der ersten Spalte und die zweite Zweile mit der 2. Spalte = A^T ?
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

und ist denn immer jede symmetrische Matrix diagonalisierbar?
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Mit symmetrisch meine ich . Schreib die erste Zeile von A in die erste Spalte einer neuen Matrix,die zweite Zeile in die zweite Spalte...und am Ende hast du
Die Matrix ist nicht diagonalisierbar
Ich verstehe trotzdem nicht, was du mit der Gleichung willst. U ist dann die Inverse von A - aber welche Rolle soll die hier spielen?
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Gar keine, ich habe Diagonalmatrix mit der Unitärmatrix verwechselt und versehentlich den Rechenschritt miteingebracht. Wenn nämlich A^T*A gilt heißt die Matrix unitär (es kommt die Einheitsmatrix raus) bzw. sie ist dann orthogonal (bei der Multplikation von quadrat. Matrizen: A^T*A), oder?
 
 
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

und ist denn immer jede symmetrische Matrix diagonalisierbar? (die Frage noch von vorhin)
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, dann orthogonal. , dann unitär.
Deine Frage oben war ursprünglich, ob jede quadratische Matrix diagonalisierbar ist. Dafür habe ich dir ein Gegenbeispiel angegeben. Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Besondere an der Diagonalmatrix ist, dass gilt:

U U^+ =A

?

Also

* = ???

Jedoch kommt bei A dann etwas anderes raus, wenn man die Einträge beider Matrizen elementarweise miteinander multpliziert. verwirrt

Anknüpfend an die Aufgabe ist nach der Spektraldarstellung von A gefragt.

Ich habe dazu mal die normierten Eigenvektoren berechnet:

(A-*I)*v_1=0

* = 0

-1x1+1y1=0
1x1-1y1=0

wenn ich das LGS auflöse, erhalte ich x_1=1 und y_1=1 ( hier kann ich eine Variable beliebig wählen,oder?)

sodass v_1=1/ rauskommt.
Bei v_2 bin ich gleichermaßen vorgegangen und es kommt v_2=1 / raus.

Die Spektraldarstellung lautet dann:
^2 + ^2

Stimmt das denn so? Ich wäre dir sehr dankbar, wenn Du mir hier noch weiterhelfen könntest.
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Unsinn. Es gilt .
Ist eine Orthonormalbasis, dann ist
Sind zudem noch Eigenvektoren von A, dann folgt daraus und das ist deine Spektraldarstellung.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte es gilt:

nach Definieren von U unitär: U=U*= E (E=Einheitsmatrix)

AU= =

=> U diagonalisiert A bzw. mit A=U

mit =

So etwas verständlicher ausgedrückt?
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

und die 2. Frage : heißt doch diagonalisiert, oder ? bzw. es steht für die Diagonalisierbarkeit bei Matrizen als Symbol? Ich kenne es nur als Symbolschreibweise für ein "und".
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dazu mal die normierten Eigenvektoren berechnet:

(A-*I)*v_1=0

* = 0

-1x1+1y1=0
1x1-1y1=0

wenn ich das LGS auflöse, erhalte ich x_1=1 und y_1=1 ( hier kann ich eine Variable beliebig wählen,oder?)

sodass v_1=1/ rauskommt.
Bei v_2 bin ich gleichermaßen vorgegangen und es kommt v_2=1 / raus.

Die Spektraldarstellung lautet dann:
^2 + ^2

[/quote]

was ist denn daran genau falsch?
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Mir ist die Schreibweise und nicht geläufig. Insofern ist für mich nichts verständlicher dargestellt.

Die normierten Eigenvektoren sind korrekt. Aber was sollen in deiner Spektraldarstellung die Summenzeichen und was ist denn ?

Und hör bitte damit auf, deine Formeln und Gleichungen immer nur teilweise in latex zu schreiben. Das nervt einfach ungemein und ist vollkommen unnötig.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dazu mal die normierten Eigenvektoren berechnet:

(A-*I)*=0

* = 0

-1+1=0
1-1=0

wenn ich das LGS auflöse, erhalte ich =1 und =1 ( hier kann ich eine Variable beliebig wählen, oder?)

sodass =1/ rauskommt.
Bei bin ich gleichermaßen vorgegangen und es kommt =1 / raus.

Die Spektraldarstellung lautet dann gemäß der Definition:

A=

A= + *


stimmt es nun so? ich habe es mal editiert...
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Dass die normierten EV richtig sind, sagte ich doch schon.
Da du deine Formeln noch immer nicht sauber schreibst, werde ich das ab jetzt nicht mehr korrigieren. Ich kopiere, was ich brauche und sich leicht kopieren lässt, den Rest muss du dann eben selber ergänzen.
Die allgemeine Formel ist richtig. Sie stimmt auch mit dem überein, was ich dir schon als Spektraldarstellung genannt habe. Du hast den rot markierten Teil vergessen, deswegen ist in deiner Formel das Produkt der Vektoren nicht definiert.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bemühe mich möglichst die Formeln sauber mit LaTeX zu schreiben. Im letzten Beitrag sind keine Fehler, was Latex angeht (?).


Die Spektraldarstellung lautet dann gemäß der Definition:

A=

A= + *

Der rot markierte Teil in deinem Beitrag ist in bei mir als 3. Faktor im Produkt des 1. und 2. Summanden zu finden.

heißt doch ich komplex konjugiere (hier ändert sich nichts bei den Vektoren) und transponiere die ermittelten Eigenvektoren, wie oben getan?
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Das "A=" steht immer außerhalb der latex-tags. Das Transponieren der Vektoren fehlt doch offensichtlich.
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spektraldarstellung lautet dann gemäß der Definition:

A =

A= + ) *

So zufrieden mit dem Ergebnis? Das A steht außerhalb des Latex Tags. & darf bzw. kann man das denn noch zusammenfassen oder sollte man es bei dieser Darstellung belassen?

Edit: An den Klammern könnte man noch arbeiten.
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Das
code:
1:
A= [latex] 1 * (1/ \sqrt{2}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}* 1/\sqrt{2} [/latex]  [latex]\begin{pmatrix} 1 & 1  \end{pmatrix}   [/latex]) + [latex] ((-1)* 1/\sqrt{2}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/latex] * [latex] 1/\sqrt{2}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & -1  \end{pmatrix})  [/latex]

ist doch einfach nur gruselig unglücklich Warum nicht einfach einen Tag am Anfang und am Ende?
code:
1:
2:
[latex]A= 1 * (1/ \sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}* 1/\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 & 1  \end{pmatrix}   ) +  ((-1)* 1/\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}  * 1/\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1 & -1  \end{pmatrix})  [/latex]

Wenn ich richtig gezählt habe, fallen 12 latex-Tags weg. Aber von mir aus, mach was du willst. Ich werde den Mist jedenfalls nicht mehr anfassen.

Zusammenfassen sollte man es noch
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »

Fehlen nicht bei dir die Wurzelausdrücke im Nenner, also ? Edit: Hat sich erledigt, Wurzel aus 4=2.

& Danke für den Latex-Tipp. Ich werde ihn mir für nächstes Mal merken.
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Schau nochmal genau hin und denk nochmal nach
MatheFredo Auf diesen Beitrag antworten »



deshalb?
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ja
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