Rang einer Matrix durch Unterdeterminanten

14.01.2019, 10:55	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix durch Unterdeterminanten Guten Morgen Mich interessiert, wie man den Rang einer Matrix mithilfe der Unterdeterminanten bestimmen kann. Angenommen wir haben zwei 3x3 Matrizen, sagen wir: $\begin{eqnarray} A_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt gibt es in einer 3x3 Matrix 9 Unterdeterminanten, bei der ersten Matrix sind fast alle 2x2 Unterdeterminanten 0, bei der zweiten Matrix sind vermutlich alle Unterdeterminanten 0. Meine Frage ist nun, was schließe ich daraus? Wie kann ich so den Rang berechnen? Ich muss sagen, dass ich die Rang Bestimmung sonst nur durch das Gauß-Verfahren und die "große" Determinante einer Matrix kenne, wie bestimmt man also den Rang mithilfe der Unterdeterminanten? Ich freu mich auf Antworten
14.01.2019, 11:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Eigenschaft "Rang = Maximaldimension aller Unterdeterminanten ungleich Null" ist eher von theoretischem Interesse. In der praktischen Rechnung würde das nämlich erfordern, dass man neben der Angabe einer solchen $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -Determinante ungleich Null (leicht) auch noch nachweisen müsste, dass sämtliche $\begin{eqnarray} (r+1) \end{eqnarray}$ -Unterdeterminanten gleich Null sind (i.d.R. unzumutbar aufwändig, schon allein die alle aufzuzählen). Nehmen wir Beispiel 2: Hier hast du $\begin{eqnarray} \binom{3}{2}^2 = 9 \end{eqnarray}$ (!) Unterdeterminaten der Dimension 2 zu betrachten. Ok, die sind überwiegend mit Nullen besetzt - dennoch mühsam, die alle zu betrachten. Also mein Ratschlag: Bleib bei dem Gaußverfahren.
14.01.2019, 11:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einfache Gauß-Algorithmus liefert die Anzahl unabhängiger Zeilen-/Spaltenvektoren. A_1 hat den Rang 2 und A_2 hat den Rang 1, wie man sofort sieht. Determinantenberechnung zeigt nur, dass beide nicht den Rang 3 haben. Warum möchtest du Determinanten oder Unterdeterminanten zur Rangbestimmung benutzen ? Berechnung von Determinanten wird mit wachsender Größe der Matrix sehr schnell praktisch unmöglich. Warum möchtest du mit Kanonen auf Spatzen schießen ?
14.01.2019, 11:27	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ich das so in dieser Art vorhabe? Ich habe im Netz einen Übungszettel zur Höheren Mathematik gefunden und dachte, dass das ein bisschen Training für mich ist. Der Zettel richtet sich allerdings an Maschinenbauer... Und die Berechnung mit den Unterdeterminanten ist zugegeben wirklich unnötig aufwendig, nur hätte mich mal interessiert, wie man das bei den Matrizen angewendet hätte... Ich hab die Matrizen extra etwas "provokativ" gewählt, weil man zwar über die "große" Determinante (Sarrus) zwar zeigen kann, dass diese 0 ist und damit der Rang kleiner als 3 sein muss, allerdings kann man damit nicht den "exakten" Rang bestimmen.
14.01.2019, 12:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ingenieure und Maschinenbauer haben eine unerklärliche Vorliebe für Determinanten. Seit Jahren versuche ich mit mäßigem Erfolg, einem Ingenieur die Fixierung auf Determinanten auszureden. Für Mathematiker sind Matrizen a) lineare Gleichungssysteme (Gauß-Algorithmus zur Lösung) oder b) lineare Abbildungen (Gauß-Algoritmus zur Berechnung von Rang und Kern und der Inversen, falls vorhanden). Vermutlich wurde die "Höhere Mathematik" im 19. Jahrhundert von Ingenieuren für Ingenieure entwickelt, bevor die Bedeutung der "Linearen Algebra" im 20. Jahrhundert für die Mathematik offenbar wurde.

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