Grenzwert

14.01.2019, 17:30	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Es seien $\begin{eqnarray} \alpha ,\beta >0 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{\beta x} }{x^{\alpha } } = \infty \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{\log x}{x^{\alpha } } =0 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{+} } x^{\alpha } \log x=0 \end{eqnarray}$ Leider fehlen mir Ideen für einen Ansatz; ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
15.01.2019, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hängt natürlich davon ab, welche "Werkzeuge" bereits verfügbar sind. Mit L'Hospital beispielsweise gar kein Problem: a) Es ist $\begin{eqnarray} \frac{e^{\beta x}}{x^{\alpha}} = \left( \frac{e^{\frac{\beta}{\alpha} x}}{x} \right)^{\alpha} \end{eqnarray}$ , und mit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \frac{e^{\frac{\beta}{\alpha} x}}{x} \stackrel{LH}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{\beta}{\alpha}e^{\frac{\beta}{\alpha} x}}{1} = \infty \end{eqnarray}$ folgt damit dann die Behauptung. b) und c) gehen direkt mit L'Hospital, wobei man bei c) die Darstellung $\begin{eqnarray} x^{\alpha}\ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-\alpha}} \end{eqnarray}$ nutzt.
15.01.2019, 11:34	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital haben wir leider noch nicht in der Vorlesung behandelt. Was gäbe es denn sonst noch für Möglichkeiten?
15.01.2019, 12:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, wie sieht's mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion aus? Und wenn die auch nicht bekannt ist, was ist überhaupt an Eigenschaften der Exponentialfunktion bekannt? Bzw., wie ist die dann definiert?

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