Fünfeck mit Pythagoras

15.01.2019, 06:41

Abacus79

Fünfeck mit Pythagoras

Einen wunderschönen guten Morgen!

Ich steh gerade total auf dem Schlauch.
Die Aufgabe lautet den Flächeninhalt und den Umfang folgender Figur zu berechnen.
Bekannt sind 4 Seiten (Länge = e). Die Aufgabe darf nur mit Hilfe des Satzes von Pythagoras gelöst werden. Mein Problem ist, dass ich nicht rausbekomme, wie ich die Hilfslinien setzen muss.

1. Versuch
Hilfslinien AD und BD. Die Dreiecke ADE bzw. BCD lassen sich dann einfach berechnen. Dannach hänge ich dann aber fest.Um im Dreieck ABD die Höhe, bzw. die Strecke AB zu berechnen fehlt mir eine Seite.

2. Versuch
Ich teile den 120° Winkel in 2 Hälften. Das sind ja dann 60° und konstruiere 2 gleichseitige Dreiecke MCD und MDE. Somit entsteht "unten ein Dreieck ABM, das sich leider aber auch nicht berechnen lässt.

Irgendwie lande ich immer in einer Sackgasse. Wahrscheinlich übersehe ich nur etwas total banales, offensichtliches. Vielleicht habt ihr mir einen Tipp.
Das 2. Bild zeigt meine Denkansätze
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15.01.2019, 07:10

Bürgi

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RE: Fünfeck mit Pythagoras
Guten Morgen,

ich gehe davon aus, dass du weißt, dass

sin (30°) = 1/2

ist.
Benutze jetzt die Forme für die Dreiecksfläche

A = 1/2 * a * b * sin (gamma)

gamma ist der von a und b eingeschlossene Winkel.

15.01.2019, 09:03

HAL 9000

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Keine Winkelfunktionen also, zumindest nicht allzu explizit?

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABD \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} |\angle AMB| = 2|\angle ADB| = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \triangle ABM \end{eqnarray*}$ gleichseitig, es folgt mit $\begin{eqnarray*} x:=|AB| \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} |MA| = |MD|=x \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |MF|=\frac{\sqrt{3}}{2}x \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} |DF| = \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)x \end{eqnarray*}$ , und nach Pythagoras somit

$\begin{eqnarray*} 2e^2 = |AD|^2 = |AF|^2 + |DF|^2 = \frac{1}{4}x^2 + \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 x^2 = (2+\sqrt{3})x^2 \end{eqnarray*}$

was umgestellt $\begin{eqnarray*} x^2=2(2-\sqrt{3})e^2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x=(\sqrt{3}-1)e \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Der Rest ergibt sich dann.

15.01.2019, 10:32

Abacus79

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Trigonometrie darf nicht verwendet werden. Die Aufgabe stammt aus einem Buch der 9. Klasse. Trigo wird erst in der 10. Klasse gelernt. Ich darf also auf keinen Fall darauf zurückgreifen.

HAL9000 du"konstruierst" einen Umkreismittelpunkt. Vielleicht verwechsel ich jetzt was, oder offenbare eine Wissenslücke, aber gibt es einen Umkreis nicht nur bei einem regelmäßigen Fünfeck? Bei meinem ist die Seite AB aber nicht bekannt. Bitte nicht auslachen, falls ich das nicht mehr richtig in Erinnerung habe.

15.01.2019, 12:03

Bürgi

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Hallo,

zur Erläuterung: HAL9000 konstruiert den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABD.

Nach dem Satz vom Peripherie- und Zentriwinkel beträgt der Mittelpunktswinkel 60°, d.h., die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ABM sind ebenfalls 60°, woraus folgt, dass Dreieck ABM gleichseitig sein muss.

Im Umkreis gelten dann die Längenbeziehungen:

$\begin{eqnarray*} |\overline{AM}| = |\overline{BM}| = |\overline{DM}| = x \end{eqnarray*}$

15.01.2019, 12:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bürgi
HAL9000 konstruiert den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABD.

So ist es, und so habe ich es auch geschrieben. Warum hörst du, Abacus1979, nach dem Wort "Umkreismittelpunkt" mit dem Lesen des Satzes auf? unglücklich

15.01.2019, 12:40

Abacus79

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Ich entschuldige mich ausdrücklich bei HAL9000. Ich hab nicht aufgehört zu lesen sondern hatte irgendwie nen Knoten im Hirn. Hiermit gelobe ich Besserung! Großes Ehrenwort.

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