Grenzwert mit Parametern

16.01.2019, 01:26

grenznull

Grenzwert mit Parametern

Hallo

Zu finden sind reelle Zahlen a und b, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b )=0 \end{eqnarray*}$

Gefunden habe ich durch $\begin{eqnarray*} m-n=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=ax+b \end{eqnarray*}$ die Werte a=1 und b=1/3, da damit sicher gestellt ist, dass der Zählergrad mit 1 kleiner als der Nennergrad ist, welcher abgeschätzt maximal 2 werden kann.

Das passt auch soweit, kann man ja ganz einfach mit einem Plotter testen.
In der Aufgabe steht ja nicht "finde alle reellen Zahlen a und b...", von daher reicht das doch schon aus zur Lösung der Aufgabe, oder ?

So auf Anhieb würde ich sogar sagen, dass es gar keine anderen Werte für a und b gibt, so dass der entsprechende Grenzwert 0 ist.

Wie seht ihr das ?
Und gibt es auch noch eine andere Herangehensweise ?

16.01.2019, 08:28

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit Parametern
Aus meiner Sicht paßt alles. Freude

16.01.2019, 09:51

HAL 9000

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RE: Grenzwert mit Parametern

Zitat:

Original von grenznull
So auf Anhieb würde ich sogar sagen, dass es gar keine anderen Werte für a und b gibt, so dass der entsprechende Grenzwert 0 ist.

Das kann man ja auch einfach begründen: Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-ax-b = \left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-x-\frac{1}{3}\right) + \left((1-a)x+\frac{1}{3}-b\right) \end{eqnarray*}$ .

Von dem ersten Klammerausdruck hast du nachgewiesen, dass er gegen Null konvergiert. Wenn der Gesamtterm gegen Null konvergieren soll, dann klappt das nur wenn auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \left((1-a)x+\frac{1}{3}-b\right) = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist, was offenkundig nur für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ klappt.

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