Grenzverteilungssatz, Poissonapproximation

16.01.2019, 16:30

Kathreena

Grenzverteilungssatz, Poissonapproximation

a.) Bestimmen Sie die exakte Binomialverteilung in folgender Situation: n Rosinen werden zufällig und unabhängig voneinander auf m Semmeln verteilt; das soll bedeuten, jede Rosine wird einer der Semmeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugeteilt, unabhängig von den schon zugeteilten. Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X, welche die Anzahl der Rosinen in einer bestimmten Semmel beschreibt (zuerst mit n=100 und m=50, dann mit n=1000 und m=500).

b.) Bestimmen Sie die jeweils entsprechende approximierende Poisson-Verteilung und beurteilen Sie, wie gut die Approximation ist.

c.) Nach dem zentralen Grenzverteilungssatz kann man die Poisson-Verteilung durch eine Normalver-teilung approximieren. Formulieren Sie dies genau und vergleichen Sie mit dem Ergebnis von b). Ist die Verteilung auch durch eine Normalverteilung approximierbar und wenn ja, durch welche?

Meine Idee:
a.)
Die Rosinen sind zufällig verteilt -> Bernoulli-Kette
$\begin{eqnarray*} X \sim B(n,p) \end{eqnarray*}$
Verstehe hier nur nich was gesucht ist, ich kann doch nicht die genaue Anzahl der Rosinen in einer Semmel berechnen, nur die Wahrscheinlichkeit das Rosinen in einer Semmel drinn sind oder eben nicht.

Allgemein:

$\begin{eqnarray*} P(X=m) = \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \cdot p^m \cdot q^{m-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = 1-p \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} X \sim Po(\mu) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu = n \cdot p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \cdot p^m \cdot (1-q)^{n-m} = \frac{\mu^m \cdot e^{-\mu}}{m!} \end{eqnarray*}$

16.01.2019, 20:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} P(X=m) = \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \cdot p^m \cdot q^{m-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = 1-p \end{eqnarray*}$

Soweit fast richtig (es muss $\begin{eqnarray*} q^{n-m} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} q^{m-n} \end{eqnarray*}$ lauten), aber es ist ziemlich ungeschickt, ausgerechnet nur $\begin{eqnarray*} P(X=m) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, wo doch Symbol $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hier bereits reserviert ist für die Brötchenzahl. Besser wäre also

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ ,

ansonsten endet das nur im Symbol-Chaos.

21.01.2019, 13:22

Kathreena

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Danke, ich habs.

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