Eigenschaften von Relationen

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mimix Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Relationen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe erhebliche Schwierigkeiten damit, Mengen Eigenschaften zuzuordnen. Bei den folgenden Beispielen soll ich die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Asymmetrie, Antisymmetrie und Transitivität begründen:

a) M: Menge von Neugeborenen, x, y element M. Relation: x wiegt mehr oder genauso viel wie y

b) M: Menge aller Deutschen, x, y element M. Relation: x spricht dieselbe Sprache wie y

Meine größte Schwierigkeit besteht im Erkennen von Symmetrie, Antisymmetrie und Asymmetrie.

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind bisher:

a) -reflexiv, da: jedes Baby genauso viel wiegt wie es selbst
-antisymmetrisch, da: wenn x>=y und y>=y gilt y=x
-transitiv, da: wenn x>=y und y>=z, dann x>=z

b) -reflexiv, da: jeder spricht dieselbe Sprache wie er selbst
-transitiv, da: wenn x dieselbe Sprache spricht wie y und y dieselbe Sprache spricht wie z, dann sprechen auch x und z die gleiche Sprache (vorausgesetzt y und z sind nicht zweisprachig)

Ich weiß, dass eine Relation dann asymmetrisch ist, wenn sie irreflexiv und antisymmetrisch ist. Leider bin ich mir nie sicher, wann das wirklich eintrifft.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von mimix
Ich weiß, dass eine Relation dann asymmetrisch ist, wenn sie irreflexiv und antisymmetrisch ist.

Das verstehe ich nicht.

Deine Begründungen für a) sind korrekt, also ist das eine Ordnungsrelation.
Bei b) fehlt nur noch die Symmetrie: x spricht wie y, dann spricht y wie x. Also ist b) eine Äquivalenzrelation. (Die Anmerkung über Mehrsprachigkeit gibt mir zu denken, darüber muss ich noch einmal nachdenken.)

Nachtrag: Nein, die Mehrsprachigkeit verletzt die Transitivität. Beispiel x spricht A und B, y spricht B und C, z spricht C. Aus (x,y) und (y,z) folgt nicht (x,z) ! Also keine Äquivalenzrelation.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von Elvis
Deine Begründungen für a) sind korrekt, also ist das eine Ordnungsrelation.

Eine Ordnung ist es hoffentlich nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von mimix
a) -reflexiv, da: jedes Baby genauso viel wiegt wie es selbst
-antisymmetrisch, da: wenn x>=y und y>=y gilt y=x
-transitiv, da: wenn x>=y und y>=z, dann x>=z


Da war noch ein Schreibfehler
-antisymmetrisch, da: wenn x>=y und y>=x gilt y=x
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, aber kann man davon ausgehen, dass das gilt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe kein Problem darin, eine (wohldefinierte) Menge von Neugeborenen nach Gewicht zu ordnen. Wiegen ist nicht nötig, Neugeborene werden auf der Erde geboren, da hat jedes Neugeborene ein bestimmtes Gewicht. Das Gewicht ist ortsabhängig, dennoch allgemein ordnungsfähig.

Nachtrag: Ich glaube, jetzt sehe ich das Problem. Zwei Babys sind nicht gleich, wenn sie das gleiche Gewicht haben Finger1 ... oder doch, wenn man nanogramm genau misst Augenzwinkern
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen zwei Neugeborene, die dasselbe wiegen, identisch sein?

Wenn ja, dann ist die Relation eine Ordnung.
Wenn nicht, dann ist sie eine Präordnung.

@Elvis' Edit: Genau das meinte ich. Deswegen habe ich zwar "agnostisch" geantwortet, würde aber aus epistemischen Gründen eher die Variante der Präordnung bevorzugen. Big Laugh
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