Lineare Algebra: Basis für V finden

17.01.2019, 17:52	lprkur	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra: Basis für V finden Meine Frage: Hallo Ich soll für den unten definierten Vektorraum V die Basis finden, jedoch weiss ich nicht wie. Meine Ideen: Eine meiner Ideen war es die Vektoren (1, 1, -1, -1), (1, -1, 1, -1) und (-1, 1, 1, -1) als Basis zu wählen, jedoch bin ich mir dabei sehr sehr unsicher. Wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank im Vorraus
17.01.2019, 18:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Die Basis eines Vektorraumes gibt es nicht. Wie begründest du, dass deine drei Vektoren eine Basis bilden?
17.01.2019, 18:53	lprkur	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Dass es mehr als nur eine Basis für einen Vektorraum gibt, ist mir klar. Auf die Idde, dass die Vektoren (1, 1, -1, -1), (1, -1, 1, -1) und (-1, 1, 1, -1) eine Basis bilden könnten, bin ich aus folgendem Grund gekommen. x(1, 1, -1, -1) = (x, x, -x, -x), x+x-x-x=0 und das würde für alle drei Vektoren gelten. Jedoch habe ich aber das Gefühl, dass die drei Vektoren kein Erzeugendensystem sind.
17.01.2019, 19:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Welche Dimension hat der Vektorraum? Sind die Vektoren linear unabhängig?
17.01.2019, 20:13	lprkur	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Ich würde sagen sie sind linear unabhängig da keine a, b, c (/=0) existieren s.d. a(1,1,-1,-1)+b(1,-1,-1,1)+c(1,-1,1,-1)=0. Bei der Dimension bin ich mir nicht sicher. Ich denke sie ist kleiner/gleich 4, da V ein Untervektorraum von IR^4 ist und dieser hat Dimension 4.
17.01.2019, 21:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Du hast vier Variablen und eine Gleichung. Also kannst du drei Variablen frei wählen, die Dimension ist also drei. Wenn du jetzt noch beweisen kannst, dass deine Vektoren linear unabhängig sind (Stichwort Gauß), dann bist du fertig. Alternativ schreibt man die definierende Gleichung von V um in $\begin{eqnarray} x_4=-x_1-x_2-x_3 \end{eqnarray}$ und damit ist dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1 \end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1 \end{pmatrix} +x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die drei Vektoren auf der rechten Seite bilden eine Basis von V.
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17.01.2019, 21:23	lprkur	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra: Basis für V finden Vielen vielen Dank! Das macht jetzt total Sinn

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