Drehung von Matrizen - Surjektive Abbildung Beweis

18.01.2019, 11:48	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung von Matrizen - Surjektive Abbildung Beweis Hallo zusammen, ich soll beweisen, dass folgende Abbildung surjektiv ist: Sei $\begin{eqnarray} D \subseteq GL_2(\mathbb R) \end{eqnarray}$ die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. $\begin{eqnarray} I: [0,2\pi [\times D \rightarrow GL_2(\mathbb R) , (\varphi , A) \mapsto \begin{pmatrix} cos(\varphi) & -sin(\varphi)\\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix} \cdot A \end{eqnarray}$ Allerdings tue ich mich damit total schwer. Man muss doch jetzt zeigen, dass es immer ein Urbild gibt, also jede invertierbare Matrix als ein Produkt von einer Drehmatrix und einer oberen Dreiecksmatrix dargestellt werden kann. Ich wäre sehr erfreut über jemanden der mir hilft zum Ziel zu kommen LG Snexx_Math
18.01.2019, 14:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man sich doch direkt klarmachen: Sei $\begin{eqnarray} B\in GL_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ vorgegeben und wir suchen nun eine solche Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ samt passendem $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix} \cdot A = B \end{eqnarray}$ gilt. Dann muss $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}^{-1}\cdot B = \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi)\\ -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelten. Die übliche Matrixmultiplikation durchgeführt bekommen wir speziell "links unten" im Ergebnis $\begin{eqnarray} a_{21} = -b_{11}\sin(\varphi)+b_{21}\cos(\varphi)\qquad () \end{eqnarray}$ Wir wollen erreichen, dass $\begin{eqnarray} a_{21}=0 \end{eqnarray}$ ist, da kannst du dir aus () nun selbst ausrechnen, wie man $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ wählen muss.
19.01.2019, 17:24	Gastnutzer8647	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000. Auf die von dir vorgeschlagene Art würde Snexx_Math zwar seinen Winkel finden, aber du sagst ja noch nichts über deine Dreiecksmatrix A. Wie würdest du die denn dann bestimmen? Grüße.

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