L´Hospital Aufgabe

18.01.2019, 21:50

whatssefak

L´Hospital Aufgabe

[attach]48757[/attach]

Nicht sicher, wie ich die lösen soll.
Was ich habe:
Betrachtet auf I = (0, unendlich) sind f(x) := (e^(x) -1) sowie g(x) := x diffbar.
g`(0) = 1.

--> lim(f/g) = lim(e^x). Für x gegen 0 geht das gegen 1.
Da die Wurzel von 1 immer 1 ist gilt nach Rechenregeln mit Grenzwerten, dass der Term "der Aufgabenstellung" gegen 1 geht.
Fühlt sich spewy an, habe noch andere Dinge probiert die aber für mich hier schwer aufzuschreiben sind.

Kann mir jemand helfen?

18.01.2019, 22:53

whatssefak

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RE: L´Hospital Aufgabe
x --> 0

19.01.2019, 02:10

grenzwert19

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Wenn du den Graphen zu $\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{e^x-1}{x})^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ mal plottest, dann siehst du, dass für x ---> 0 sicher nicht der Grenzwert 1 rauskommen wird.

Ich habe mir einen Lösungsweg überlegt, der ist aber nicht gerade elegant, da man recht oft L'Hospital anwenden muss.
Naja aber da es funktioniert (ich habe es getestet), gebe ich dir mal den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{e^x-1}{x})^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}} \end{eqnarray*}$

Ich verrate mal noch nicht, wie der Grenzwert lautet - vielleicht kommst du damit ja selbst drauf.

Viel Erfolg Freude

19.01.2019, 11:18

whatssefak

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oh je, was ein scheiß

das führt ja ins Nirvana

19.01.2019, 12:01

Guppi12

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Ich will mal eine Alternative zu L'Hospital vorschlagen, wenn man den wirklich so oft anwenden muss.

Wie bereits gesehen, ist der gesuchte Grenzwert $\begin{eqnarray*} \exp\left(\lim_{x\to 0} \frac 1x\log\left(\frac{e^x-1}{x}\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Setzen wir $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ , so steht dort $\begin{eqnarray*} \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac 1x\bigg[\log(f(x))-\log(f(0))\bigg]\right) = \exp\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log(f(x))\bigg\vert_{x=0}\right) \end{eqnarray*}$ . Das lässt sich aber einfach mit Kettenregel und Differentiation von Potenzreihen berechnen.

19.01.2019, 12:41

whatssefak

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thank you smart boy

19.01.2019, 17:17

grenzwert19

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Zitat:

das führt ja ins Nirvana

So schlimm ist es auch nicht.

Ich glaube dreimal L'Hospital und dann steht da sowas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x(x+1)}{e^x(x+2)}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

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