Anzahl Idealklassen

19.01.2019, 17:42

forbin

Anzahl Idealklassen

Hallo,

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\lbrack\sqrt{223}\rbrack \end{eqnarray*}$ drei Idealklassen hat.

Nun ist $\begin{eqnarray*} 223\equiv 3 mod 4 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Diskriminante $\begin{eqnarray*} 4\cdot 223 = 892. \end{eqnarray*}$
Jede Idealklasse enthält also Elemente der Norm $\begin{eqnarray*} N(\alpha) \leq\frac{2}{\pi}\cdot\sqrt{892}\leq 19 \end{eqnarray*}$
Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = a^2-223b^2 \end{eqnarray*}$ .

Muss ich nun $\begin{eqnarray*} a^2-223b^2 = 19 \end{eqnarray*}$ lösen?

19.01.2019, 17:46

forbin

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RE: Anzahl Idealklassen

Zitat:

Original von forbin
Hallo,

ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\lbrack\sqrt{223}\rbrack \end{eqnarray*}$ drei Idealklassen hat.

Nun ist $\begin{eqnarray*} 223\equiv 3 mod 4 \end{eqnarray*}$ und damit ist die Diskriminante $\begin{eqnarray*} 4\cdot 223 = 892. \end{eqnarray*}$
Jede Idealklasse enthält also Elemente der Norm $\begin{eqnarray*} N(\alpha) \leq\frac{2}{\pi}\cdot\sqrt{892}\leq 19 \end{eqnarray*}$
Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} N(\alpha) = a^2-223b^2 \end{eqnarray*}$ .

Muss ich nun $\begin{eqnarray*} a^2-223b^2 \leq 19 \end{eqnarray*}$ lösen?

Sorry, ich müsste ja $\begin{eqnarray*} a^2-223b^2 = \pm p \end{eqnarray*}$ lösen, wobei p die Primzahlen zwischen 2 und 14 sind.
Aber nur für p=2 erhalte ich eine Lösung.
Es sollten aber drei sein.

21.01.2019, 18:06

Elvis

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Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper berechnen ist möglich, aber etwas aufwendig. Wenn du eine einfache Methode kennst, die weniger Aufwand erfordert als das Studium von Helmut Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie" (ca. 400 Seiten), dann wüsste ich gerne, wie das geht. (Hier wird mit Einheiten und analytischer Klassenzahlformel gearbeitet.) Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} h(\mathbb Q(\sqrt {223}))=3 \end{eqnarray*}$ , aber um das zu berechnen ist der Rand des Buches zu schmal. Augenzwinkern

24.01.2019, 13:32

Elvis

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Die Grundeinheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{223}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \epsilon_1=224+15\cdot\sqrt{223} \end{eqnarray*}$ , wie man durch systematisches Probieren der umgestellten Pellschen Gleichung (wann ist $\begin{eqnarray*} dv^2\pm 4 \end{eqnarray*}$ ein Quadrat $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ ?) sehr schnell herausfindet.

Für die Berechnung der Klassenzahl braucht man dann insbesondere alle $\begin{eqnarray*} (\frac d x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d=4D=4\cdot 223=892 \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} h=\frac {-\sum_{\pm x\;mod\; d}^+(\frac d x)log(2sin\frac {\pi x} d)}{log\epsilon_1} \end{eqnarray*}$ (und das wird mir zu mühsam).

02.02.2019, 12:08

Elvis

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Bin dabei, mich durch Hasse zu arbeiten. Weil die Diskriminante positiv ist, genügt es Divisoren der Norm kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \frac 1 2\sqrt{892}=\sqrt{223}=14,93... \end{eqnarray*}$ , also Kombinationen aus Primdivisoren für Primzahlen bis 13 zu betrachten.

Dein Ansatz ist aber nicht ausreichend, um die Klassenzahl zu bestimmen.

Man kann die Diskriminantenteiler $\begin{eqnarray*} 2|d \end{eqnarray*}$ und Legendre-Symbole $\begin{eqnarray*} (\frac {223}p)=223^{\frac{p-1}2}(mod\, p) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p=3,5,7,11,13 \end{eqnarray*}$ betrachten und kommt auf die entsprechenden Primdivisoren:
$\begin{eqnarray*} 2\cong p_2^2,N(p_2)=2, 3\cong p_3p_3', N(p_3)=N(p_3')=3,11\cong p_{11}p_{11}',N(p_{11})=N(p_{11}')=11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\cong p_5,N(p_5)=25, 7\cong p_7,N(p_7)=49, 13\cong p_{13},N(p_{13})=169 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 2=\alpha\alpha'=(15+\sqrt{223})(15-\sqrt{223}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p_2\sim 1 \end{eqnarray*}$ . [Stimmt das, und wenn ja, warum ?]

Über die Kombinationen der $\begin{eqnarray*} p_3,p_3',p_{11},p_{11}' \end{eqnarray*}$ und ihre Klassen muss man nachdenken. Damit die Klassenzahl 3 wird, müssen die Primdivisoren von 3 oder 11 eine von den Hauptdivisoren verschiedene Klasse und ihre inverse Klasse vertreten und die anderen beiden dazu oder zu 1 äquivalent sein. [Wie beweist man $\begin{eqnarray*} p_3\sim p_{11}\not \sim 1 \end{eqnarray*}$ ?]

[Muss ich mir wirklich eine explizite Darstellung der Divisoren als Ideale ansehen, um die äquivalenten Divisoren berechnen zu können? Hasse spricht auch von primitiven Divisoren, hilft das weiter ? Theorie ist prima, aber schon bei quadratischen Zahlkörpern sieht man, dass die Probleme anfangen und nicht aufhören, wenn man wirklich etwas ausrechnen möchte.]

Sind vielleicht einfach $\begin{eqnarray*} 1, p_3,p_{11} \end{eqnarray*}$ Vertreter der 3 Klassen? Wenn das so ist, wie erkennt man dann $\begin{eqnarray*} p_3\sim p_{11}' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_3'\sim p_{11} \end{eqnarray*}$ ?

07.02.2019, 11:59

Elvis

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Mit dem Verfahren von Hasse §17.5 (Auswahl der Primdivisoren, siehe oben) und §16.6 komme ich auf $\begin{eqnarray*} \alpha=239+16\sqrt{223}\Rightarrow N(\alpha)=33=N(p_3)N(p_{11})\Rightarrow p_3\sim p_{11} \end{eqnarray*}$ bei geeigneter Festlegung der konjugierten Primdivisoren. Wegen $\begin{eqnarray*} p_2\sim 1 \end{eqnarray*}$ , weil (wieder nach §16.6) $\begin{eqnarray*} \pm 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pm 11 \end{eqnarray*}$ nicht als Normen von Hauptdivisoren darstellbar sind, und weil konjugierte Primdivisoren stets in zueinander inversen Klasse liegen, haben wir jetzt den vollständigen Beweis , dass $\begin{eqnarray*} \{1,p_3,p_3'\} \end{eqnarray*}$ ein volles Vertretersystem der Divisorenklassen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{223}) \end{eqnarray*}$ , also die Klassenzahl $\begin{eqnarray*} h(\mathbb Q(\sqrt{223}))=3 \end{eqnarray*}$ ist.

[Ich vermute, dass die Darstellung der $\begin{eqnarray*} 9=N(\beta)=N(672+45\sqrt{223})=N(p_3)N(p_3') \end{eqnarray*}$ dem Resultat deswegen nicht widerspricht, weil $\begin{eqnarray*} 672>9+\epsilon_1=9+224+15\sqrt{223}\cong 457 \end{eqnarray*}$ , was nach §16.6 nicht im zu durchsuchenden Bereich liegt. Nachtrag: $\begin{eqnarray*} 3|\beta \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} (\beta) \end{eqnarray*}$ nicht primitiv, auch das kann ein Grund sein, warum das im System gemäß §17.5 keine Rolle spielt.]

Es bleibt weiter genügend Stoff zum Nachdenken, ich bedanke mich daher für die interessante Aufgabe, die mich 3 Wochen lang beschäftigt hat.

[Nachtrag: Daran sieht man mal wieder, dass man genau hingucken muss. $\begin{eqnarray*} \beta=672+45\sqrt{223}=3\cdot(224+15\sqrt{223})=3\epsilon_1 \end{eqnarray*}$ ist das 3-fache der Grundeinheit. Dass $\begin{eqnarray*} 3=p_3p_3' \end{eqnarray*}$ die Norm $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ hat, wissen wir schon lange.]

Die letztens noch offene Frage, warum $\begin{eqnarray*} p_2\sim 1 \end{eqnarray*}$ ist, habe ich mittlerweile auch geklärt. Nach S.I.Borewics/I.R.Safarevic "Zahlentheorie" Kapitel III § 3 gibt es in einem Ring O höchstens eine Divisorentheorie, d.i. eine Halbgruppe D mit eindeutiger Primfaktorzerlegung und einem Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \alpha\mapsto (\alpha) \end{eqnarray*}$ der Halbgruppe O* in D mit folgenden Eigenschaften: 1. xxx 2. xxx 3. xxx (Einzelheiten spare ich mir.)
Daraus geht klar hervor, dass die Zerlegung einer Primzahl in Primdivisoren eindeutig ist, wenn wir also eine Zerlegung in Hauptideale haben, so sind das bis auf Einheiten die Primdivisoren.
Formal hätte ich diese Frage auch (nach Hasse) dadurch beantworten können, dass die 2 als Norm eines Elements des Rings auftritt. Genau so haben wir ja heute 3 und 11 ausgeschlossen.

Nachtrag: Weil es Spaß macht, nicht nur die Theorie sondern auch etwas Praxis zu beherrschen, habe ich mir heute Franz Lemmermeyer, "Quadratische Zahlkörper", Springer 2017 bestellt und installiere PARI und SAGE auf meinem PC ... mal sehen, wofür es gut ist ...

Hallo Forbin, hast du irgendwelche Kommentare, Wünsche, Ergänzungen ?

09.02.2019, 13:28

Elvis

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SAGE bestätigt schon mal, dass die Klassengruppe die zyklische Gruppe der Ordnung 3 ist und von der Klasse des Ideals $\begin{eqnarray*} p_3=(3,2+\sqrt{223}) \end{eqnarray*}$ generiert wird.

sage: Cl = K. class_group () ; Cl
Class group of order 3 with structure C3 of Number Field in a with defining polynomial x^2 - 223
sage: Cl . gens ()
(Fractional ideal class (3, a + 2),)

Für die Lektüre von Lemmermeyer brauche ich länger als angenommen. Enthält auf zu engem Raum (<200 Seiten) viel interessanten Stoff und viele Übungsaufgaben. Enthält leider zu wenig Beispiele und Rechnungen und keine Tabellenwerke. Die Beispiele beschränken sich auf die bekannten, die man in anderen Büchern auch findet.

10.02.2019, 19:06

Elvis

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Die Lektüre von Lemmermeyer ist wegen der historischen Hinweise sehr lehrreich. Darüber hinaus gibt die idealtheoretische Darstellung der Teilbarkeit (Lemmermeyer) zusammen mit der divisorentheoretischen Darstellung (Borevics/Safarewics) und der gittertheoretischen Darstellung (Hasse) für die Praxis unschlagbar gute Hinweise (z.B. habe ich eben mal schnell per Hand $\begin{eqnarray*} (3+5\sqrt{223})\cong p_2p_{11}^2p_{23}'=(3,1+\sqrt{223})(11,5+\sqrt{223})(23,19+\sqrt{223}) \end{eqnarray*}$ faktorisiert. smile

)

10.02.2019, 19:15

forbin

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Hallo Elvis,

leider konnte ich krankheitsbedingt die letzten Wochen des Semester nicht mitmachen und auch diesen Thread beantworte ich daher erst jetzt nochmal.
Unser Prof. hat im Nachhinein die Aufgabe für uns gestrichen. Im Buch von Daniel Marcus stand sie sehr weit vorne, daher dachten wir, es gäbe eine weniger weit verzweigte Lösung.
Daher habe ich nun auch keine dazu.
Ich freue mich aber sehr, dass dich die Aufgabe ebenso beschäftigt hat und du dich so stark damit auseinandergesetzt hast smile

10.02.2019, 19:34

Elvis

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Wie du siehst war der Einstieg etwas mühsam, aber mittlerweile bin ich wieder ganz gut im Geschäft, und es macht mehr und mehr Spaß. Hinweise habe ich vermutlich genug gegeben, so dass ich hiermit das Thema beende (und nur noch für mich weitermache bis ich alles verstanden habe und hinreichend viele Algorithmen programmiert habe, die mir bei der Vertiefung der Themen die Rechenarbeit abnehmen). Wer ist Daniel Marcus ?

10.02.2019, 19:45

forbin

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Dieses war unsere Lektüre.
Ich finde es trotzdem sehr schade dass ich mich nicht mehr an der Aufgabe beteiligen konnte. Aber schön, dass du selbst soviel Interesse für dich gefunden hast smile

10.02.2019, 20:00

Elvis

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Sieht nach Standard einer Einführung in die algebraische Zahlentheorie aus. Das zeigt noch einmal, dass ich auf dem richtigen Weg unterwegs war.

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