Divergenz eines Vektorfeldes geometrisch

19.01.2019, 20:46

lucy21

Divergenz eines Vektorfeldes geometrisch

Meine Frage:
Hallo meine Frage ist kurz und knapp:

WIe kann ich mir die Divergenz eines Vektorfeldes Geometrisch vorstellen? Wie kann ich so etwas zeichnen?

Meine Ideen:
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ja nichts anderes als eine Skalare FUnktion. Skalare Funktion kann ich zeichnen. Ich kann mir aber darunter nichts vorstellen. Was sagt mir das denn ?

20.01.2019, 14:42

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Wenn man sich das Vektorfeld als Strömungsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit vorstellt, dann ist die Divergenz des Vektorfelds gleich der Quellstärke der Flüssigkeit. Quellstärke kann dabei ganz anschaulich als Entstehen oder Verschwinden der Flüssigkeit in einem Gebiet verstanden werden, wie bei einer Quelle oder Senke = Abfluss. Daraus folgt dann ganz anschaulich der Satz von Gauß: Der Nettostrom der Flüssigkeit durch die Oberfläche eines abgegrenztes Volumen muss gleich dem Volumenintegral der Divergenz = Quellstärke über das Volumen sein. Anders ausgedrückt, das was netto aus einem Volumen hinaus oder in ein Volumen hinen fließt, muss innerhalb dieses Volumens erzeugt oder vernichtet werden.

21.01.2019, 11:22

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hallo Huggy und vielen lieben dank für die Antwort. Das was du beschrieben hast möchte ich gerne in Mathematica geometrisch darstellen.

Sei S eine Reguläre Fläche und F die parametrisierung mit

$\begin{eqnarray*} F(u1,u2) = \begin{pmatrix} cosh(u1)cos(u2) \\ cosh(u1)sin(u2) \\ u1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ siehe auch Anhang 1.

Sei nun v ein Vektorfeld auf S bzgl. der Tangentialbasis also

$\begin{eqnarray*} v = V^1 \frac{\partial F}{\partial u1} + V^2 \frac{\partial F}{\partial u2} \end{eqnarray*}$ mit V^1=V^2=1.

Dann ist die Divergenz von v: 2tanh(u1).

Wie kann ich nun die Divergenz Grafisch in Mathematica darstellen ?
Einfach die Funktion 2tanh(u1) zu plotten ist doch falsch verwirrt

22.01.2019, 08:52

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo

Zitat:

Original von lucy21
Wie kann ich nun die Divergenz Grafisch in Mathematica darstellen ?

Um eine skalare Funktion auf einer Fläche darzustellen, kann man die Kurven auf die Fläche zeichnen, auf den die skalare Funktion jeweis konstant ist. Das ist in deinem Fall etwas unübersichtlich, da die Kurven konstanter Divergenz ja mit den waagrechten Koordinatenlinien zusammenfallen. Man könnte aber jeweils Werte für die Konstante nehmen, bei denen die Kurven zwischen den eingezeichneten waagrechten Koordinatenlinien liegen und sie in anderer Farbe einzeichnen,

23.01.2019, 12:45

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Also brauche ich eine Kurve wo die Divergenz drauf Konstant ist. Wie finde ich so eine Kurve ?
Könntest du mir das bitte zeigen?

23.01.2019, 12:59

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Du hast doch die Divergenz schon ausgerechnet. Die Kurve, auf der Divergenz den konstanten Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hat, ist also gegeben durch

$\begin{eqnarray*} c=2 \tanh (u_1) \end{eqnarray*}$

Das lässt sich leicht nach $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ auflösen. $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ variiert beliebig auf seinem Definitionsgebiet. Beides eingesetzt in $\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2) \end{eqnarray*}$ ergibt die gesuchte Kurve für einen gegebenen Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

23.01.2019, 13:43

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Also haben wir dann $\begin{eqnarray*} tanh^{-1}(\frac{c}{2})=u_1 \end{eqnarray*}$ .

Und das setze ich also für u1 ein:

F( $\begin{eqnarray*} tanh^{-1}(\frac{c}{2}) ,u_2 \end{eqnarray*}$ )=

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cosh( tanh^{-1}(\frac{c}{2}))cos(u2) \\ cosh( tanh^{-1}(\frac{c}{2}))sin(u2) \\ tanh^{-1}(\frac{c}{2}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und u2 ist beliebig.

Also wie könnte ich das dann in Mathematica für c=5 zeichnen auf der Fläche?

Vielen dank für die Hilfe

23.01.2019, 13:50

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Dreidimensionale Kurven kann man auch mit ParametricPlot3D zeichnen. Die Fläche und die Kurven sollte man mit Show zusammenfügen können. Das musst du mal ausprobieren.

Beachte aber, dass die Divergenz deines Vektorfeldes nur zwischen -2 und 2 variieren kann. $\begin{eqnarray*} c=5 \end{eqnarray*}$ geht also nicht.

23.01.2019, 19:42

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hey smile

Irgendwie sieht man es sehr schlecht verwirrt

(Hast du ein Tipp für mich?
Ich habe für c=0 gewählt

24.01.2019, 08:40

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Man könnte die Farbe der Fläche heller machen über PlotStyle mit Opacity und die Kurven konstanter Divergenz mittels PlotStyle dicker zeichnen. Es ist halt etwas Bastelarbeit, bis man ein Bild so hat, dass es einem optisch gefällt.

24.01.2019, 12:42

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Hey smile

vielen dank für die Tipps. Die haben gut funktioniert. smile

Warum ist das eigentlich so das wir die Kurve zeichnen ? Entspricht die Kurve der Divergenz im Punkt c=0 ? Kann ich das so verstehen ?
Sieht man im Bild also die Divergenz, die den Konstanten Wert c=0 annimmt ? verwirrt

ALso das ist mir noch nicht ganz klar weshalb wir die Divergenz so plotten können.

24.01.2019, 12:44

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
und noch eine Frage macht es Sinn das man noch das Vektorfeld plotten lässt verwirrt

24.01.2019, 13:21

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo

Zitat:

Original von lucy21
vielen dank für die Tipps. Die haben gut funktioniert. smile

Das freut mich. Aber jetzt kommen ein paar merkwürdige Fragen bzw. Aussagen.

Zitat:

Warum ist das eigentlich so das wir die Kurve zeichnen ?

Weil du nach einer Möglicheit gefragt hast, die Divergenz graphisch darzustellen. Kurven zu zeichnen, auf denen die Divergenz konstant ist, ist eine solche Möglichkeit. Es gibt sicher noch andere Möglichkeiten. Wenn man die $\begin{eqnarray*} (u_1, u_2) \end{eqnarray*}$ Parameter in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ legt, könnte man z. B. die Divergenz mit Plot3D als Funktion der beiden Parameter zeichnen. Dann kann man die betrachtete Fläche und die Divergenz aber nicht einem Bild vereinen.

Zitat:

Entspricht die Kurve der Divergenz im Punkt c=0 ?

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist kein Punkt. Es ist einfach ein Wert. Die Kurve ist die Kurve, auf der die Divergenz den Wert $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ hat. Mir ist unklar, was man daran nicht verstehen kann.

Zitat:

Sieht man im Bild also die Divergenz, die den Konstanten Wert c=0 annimmt ?

Man sieht die Kurve, auf der die Divergenz den Wert 0 hat.

Zitat:

ALso das ist mir noch nicht ganz klar weshalb wir die Divergenz so plotten können.

Ja, was soll ich dazu sagen? Das erinnert mach an folgenden Witz: Graf zum Maler: Malen sie bitte meine Gattin, aber recht schön. Maler zum Grafen: Das kann ich nicht. Ich kann höchstens ein Bild ihrer Gattin malen.

Zitat:

und noch eine Frage macht es Sinn das man noch das Vektorfeld plotten lässt

Sinn wofür? Wenn man das Vektorfeld sehen möchte, sicher ja. Wenn man es nicht sehen möchte, weshalb sollte man es dann plotten?

24.01.2019, 13:51

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ok sorry Big Laugh

War nur bisschen verwirrt aber hat sich erledigt smile

Könntest du mir bitte nur noch eine Frage beantworten:

Wie kann ich den Gradient einer Fläche Grafisch darstellen ?

Angenommen wir haben den Zylinder Als Parametrisierung:

$\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2)=\begin{pmatrix} cos(u_1) \\ sin(u_1) \\ u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Der Gradient der Funktion f=x ist gegeben durch :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} sin(u_1)^2 \\ -cos(u_1)sin(u_1) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Der Gradient ist ja ein Vektorfeld wie kann ich das nun Geometrisch am besten darstellen in Mathematica

24.01.2019, 15:42

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Also wenn ich z.B für das Katenoid das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial u_{1}} \end{eqnarray*}$ einzeichne kriege ich das im Anhang. Das sieht richtig aus aber irgendwie passt das nicht wenn ich die beiden Bilder zusammensetze..
Das sitzt nicht so weiß du was ich meine verwirrt

25.01.2019, 08:56

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Es gibt da ein Problem. Mit VectorPlot3D kann man ein Vektorfeld für einen Quader aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zeichnen. Es gibt aber keinen Befehl in Mathematica, jedenfalls nicht in meiner Uraltversion, mit dem man es beschränkt auf eine gekrümmten Fläche zeichnen könnte. Man würde so etwas wie ParametricVectorPlot3D brauchen, das es aber nicht gibt. Ich sehe im Moment nur die Möglichkeit, die Vektorpfeile "per Hand" mit Graphics3D zu erzeugen.

25.01.2019, 14:07

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
hm ja du hast Recht. Danke für den Hinweis.
Wie kann ich das mit Graphics3D erzeugen? verwirrt

25.01.2019, 14:58

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
denkst du das Paket: "Atlas 2" kann mir da helfen ?

26.01.2019, 10:37

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Das Paket kenne ich nicht, kann also nichts dazu sagen. Hier mal ein erster Versuch, das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} F_u \end{eqnarray*}$ "per Hand" auf die Fläche zu bringen. Das ist noch sehr unvollkommen. Im unteren Bereich sieht man die Pfeile nicht, weil sie aufgrund der Reihenfolge in Show durch die Fläche verdeckt werden. Oben sieht man nicht alle Pfeile, weil sie zum Teil den Zeichenbereich der Fläche verlassen. Man kann nun z. B.:

- die Reihenfolge in Show ändern
- die Pfeile für den unteren und den oberen Teil in getrennte Graphiken bringen und dann die 3 Graphiken zusammenfügen
- den Zeichenbereich vergrößern
- die Länge der Pfeile mit einem Skalenfaktor ändern

Ich überlasse es dir, damit und mit anderen Ideen herumzuspielen.

[attach]48811[/attach]

26.01.2019, 10:51

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Omg vielen dank Mit Zunge

Ich werde mich gleich nach dem einkaufen hinsetzen und rumprobieren smile

Nur eine kleine Frage müssten nicht auch vektoren im äußeren Bereich sein? verwirrt

26.01.2019, 10:56

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Was meinst du mit äußerem Bereich? Außerhalb der Fläche?

26.01.2019, 11:10

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ich habs mal schnell auf mein Handy gezeichnet Big Laugh

also diesem Bereich meine ich

26.01.2019, 11:19

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Du meinst die roten Pfeile? Ja die sollten da sein, aber in umgekehrter Richtung.
Lies meine Bemerkung zum "unteren Bereich", weshalb die bei meinem Versuch nicht sichtbar sind.

Edit: Nein, das war ein Kurzschluss. Die Richtung deiner roten Pfeile stimmt.

26.01.2019, 13:53

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
"die Pfeile für den unteren und den oberen Teil in getrennte Graphiken bringen und dann die 3 Graphiken zusammenfügen"

Wie kann ich das verwirklichen?
Wenn ich die Reihenfolge in Show änder kommt das im Bild.

26.01.2019, 18:53

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
was sagst du dazu:

Sieht besser aus ?

27.01.2019, 09:13

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Habe auch noch einen Versuch gemacht. Mit PlotStyle -> Opacity[0.5] bei der Fläche werden auch die unteren Vektoren sichtbar. Das Grundproblem bei ihnen ist, dass die meisten Pfeilspitzen sich in dem engen mittleren Bereich des Bildes konzentrieren. Daran können auch Mathematica-Optionen nichts ändern. Außerdem habe ich hier $\begin{eqnarray*} n1=8 \end{eqnarray*}$ gewählt.

[attach]48821[/attach]

Jetzt solltest du genügend Hinweise für weitere eigene Spielereien haben.

27.01.2019, 10:09

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ich habe n1=8 und n2=16 gewählt. Bei d1 wählt man den zähler immer 4? Wahrscheinlich nimt man dort |-2|+2=4.

Ich glaube ich bin so zufrieden. Wenn Mathematica nichts machen kann, kann ich auch nichts mehr machen Big Laugh

27.01.2019, 10:52

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Man kann, wenn man Zeit und Lust hat, immer versuchen, das Resultat noch schöner zu gestalten. Vielleicht solltest du mal die Verkürzung der Vektorpfeile testen, d. h. statt des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} F_u \end{eqnarray*}$ z. B. das Feld $\begin{eqnarray*} 0. 8 F_u \end{eqnarray*}$ zeichnen.

Es kann sich auch lohnen, auf den Wolfram Seiten zu suchen. Da habe ich z. B. den Befehl SliceVectorPlot3D entdeckt, den es in meiner alten Version noch nicht gibt. Er könnte für dich von Interesse sein.

https://reference.wolfram.com/language/r...ctorPlot3D.html

27.01.2019, 11:09

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
danke für die tipps. Klappt aber leider nicht bei mir.

27.01.2019, 11:21

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Du musst dir die Sache schon sorgfältiger anschauen. In dem Beispiel des Links mit der gekrümmten Fläche ist die Fläche in impliziter Form durch eine Gleichung angegeben und nicht in parametrisierter Form. Ob man die Fläche noch anders in dem Befehl definieren kann, müsste man nachlesen. Wenn es nur über die Gleichung geht, müsstest du deine Fläche erst mal in diese Form bringen und das Vektorfeld muss dann auch direkt in kartesischen Koordinaten angegeben werden.

Ob es für dich siinnvoll ist, dich näher mit den Möglichkeiten dieses Befehls zu beschäftigen, kannst nur du selbst entscheiden. Ich wollte nur mal darauf hinweisen, dass die diversen Wolfram-Seiten recht nützlich sind.

27.01.2019, 11:21

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Vllt erinnerst du dich noch an mein Beitrag am 24.01.2019 13:51.

Ich habe das mal jetzt versucht und bei mir kommt ein Fehler. Warum ist das so verwirrt

27.01.2019, 11:22

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Ich habe vergessen das Bild hochzuladen

27.01.2019, 11:33

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Wenn das das ganze Programm ist, dann ist die Fläche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, sondern nur das Feld $\begin{eqnarray*} F_u \end{eqnarray*}$ . Mit dem Beispiel hatte ich generell Probleme. Der Gadient von $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ ist doch einfach 1. Wo ist der Bezug zu dem Zylinder? Und wie kommst du bei diesem $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf dein $\begin{eqnarray*} F_u \end{eqnarray*}$ ? Das passt doch nicht zusammen.

27.01.2019, 11:43

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
So hab es jetzt verbessert. Passt das Bild jetzt ?

Der Gradient auf einer Regulären Fläche lässt sich durch die folgende Formel berechnen:

$\begin{eqnarray*} grad(f)=\sum\limits_{j=1}^{2} \xi^{j}\frac{\partial F}{\partial u_{j}} \end{eqnarray*}$

mit den Koeffizientenfunktionen: $\begin{eqnarray*} \xi^{j}=\sum\limits_{i=1}^{2} g^{ij}\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_{i}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde{f}=f \circ F \end{eqnarray*}$ .

In unserem Fall ist also F die parametrisierung des Zylinders das heißt:

$\begin{eqnarray*} F(u_1,u_2)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} cos(u_1) \\ sin(u_1) \\ u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

f(x,y,z)=x: AHhhh hier liegt das Problem. Ich hatte f(x)=x geschrieben sorry traurig

aber ist es klar wie ich dann auf den Gradient gekommen bin?

27.01.2019, 11:56

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
zu der weiteren berechnung:

$\begin{eqnarray*} g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} f\circ F=f(F(u_1,u_2))=f(cos(u_1),sin(u_1),u_2)=cos(u_1) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_1} =-sin(u_1) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial u_2} =0 \end{eqnarray*}$ .

Für die Koeffiezientenfunktionen folgt also

$\begin{eqnarray*} \xi^1=-sin(u_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi^2=0 \end{eqnarray*}$

Also kriegt man für den Gradienten $\begin{eqnarray*} -sin(u_1)* \begin{pmatrix} -sin(u_1) \\ cos(u_1) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das ist Fu

27.01.2019, 11:59

lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
vllt noch ein Bild

28.01.2019, 08:34

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
So ist verständlich, welcher Gradient gemeint war.

28.01.2019, 10:48

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Passt die Zeichnung nun so?

28.01.2019, 11:28

Huggy

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Das sollte passen.

29.01.2019, 11:24

Lucy21

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes Geo
Die Divergenz eines Vektorfeldes beschreibt ja anschaulich ob in einen Punkt etwas hinein fließt (Divergenz negativ) oder heraus fließt (Divergenz positiv). Daher ist es wichtig das Vektorfeld zu sehen und zu überprüfen ob viele Pfeile auf einen Punkt zeigen oder von ihm weg. Da wo die Divergenz gleich Null ist, müssen dann genauso viele Pfeile hin wie weg zeigen. Da lauter Pfeile irgendwann unübersichtlich werden, gibt es auch die Möglichkeit sich Strömungslinien einzeichnen zu lassen. Das könnte man mit Streamplot machen, aber ich weiss nicht genau wie könntest du mir da vll helfen smile

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