Schwache Konvergenz im Hilbertraum

19.01.2019, 22:17

forbin

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Schwache Konvergenz im Hilbertraum

Hallo Leute,

ich sitze an:
[attach]48771[/attach]

Ich möchte diese Aufgabe wirklich gerne lösen, benötige aber Hilfe.

(a)
"=>":
Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_n\subset H \end{eqnarray*}$ also schwach konvergent gegen x.
Da $\begin{eqnarray*} x\in H \Rightarrow x\in \overline{L_{\mathbb K}\lbrace e_i| i\in I\rbrace} \Rightarrow x = \sum\limits_{i}a_ie_i \text{ mit } a_i\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich nun das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (\cdot, x_n) \end{eqnarray*}$ an, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (x,x_n) = \sum\limits_i(x_n,x_i) = (x_n,x_n) = ||x_n||^2 \end{eqnarray*}$ , da für $\begin{eqnarray*} i\neq n \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt gerade 0 wird.
Also ist: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} (x,x_n) = (x,x) = ||x||^2 = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}||x_n||^2 \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich den zweiten Teil der Aussage ja schonmal.
Aber ich weiß gerade nicht, wie ich auf die Beschränktheit komme.
Ich dachte an einen Widerspruchsbeweis, aber das führte leider nicht zum Ziel.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?

20.01.2019, 10:53

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RE: Schwache Konvergenz im Hilbertraum
Ich kann dir nicht ganz folgen.
Schwach konvergent heißt doch $\begin{eqnarray*} \lim(x_n,y)=(x,y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y\in\cal H \end{eqnarray*}$ . Das gilt doch dann insbesondere für $\begin{eqnarray*} y=e_i \end{eqnarray*}$ und das ist doch der zweite Teil der Behauptung.

Edit: Für die Beschränktheit der Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ kann man sich auf Banach-Steinhaus und die Funktionale $\begin{eqnarray*} v_n(y):=(x_n,y) \end{eqnarray*}$ stützen.

20.01.2019, 11:12

forbin

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Hallo URL,

danke für deine Antwort.
Was die Defintion der schwachen Konvergenz angeht haben wir die, die sich auch bei Wikipedia findet:
[attach]48773[/attach]
verwirrt

verwirrt

20.01.2019, 11:24

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Im Hilbertraum kommt das doch wegen des Rieszschen Darstellungssatzes auf das Gleiche raus.

20.01.2019, 11:43

forbin

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Verstehe, danke sehr!

Zur Beschränktheit:
Sei $\begin{eqnarray*} \gamma: X\rightarrow X'' \end{eqnarray*}$ eine Einbettung in den Bidualraum.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \gamma (x_n)(f) = f(x_n) \rightarrow f(x) = \gamma(x)(f) \end{eqnarray*}$ .
Dabei sind $\begin{eqnarray*} \gamma(x_n)(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(x)(f) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert $\begin{eqnarray*} \gamma(x_n)(f) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \gamma(x)(f) \end{eqnarray*}$ , also beschränkt.
Also gilt für alle f $\begin{eqnarray*} f\in X' \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \sup ||\gamma(x_n)(f)|| = C<\infty \end{eqnarray*}$ , damit auch $\begin{eqnarray*} \sup||\gamma(x_n) = C \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} \sup||x_n||=C \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ beschränkt.

20.01.2019, 11:56

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Richtige Richtung Freude

Freude

Ein Hilbertraum ist normisomorph zu seinem Dualraum. Also kann man $\begin{eqnarray*} \gamma = id \end{eqnarray*}$ nehmen, was die Sache ein bisschen vereinfacht. Es geht aber auch so.

Zitat:

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \gamma(x_n)(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(x)(f) \end{eqnarray*}$ in H

Das stimmt allerdings nicht, das sind Elemente des Körpers.

Zitat:

Also gilt für alle $\begin{eqnarray*} f\in X' \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} sup\|\gamma(x_n)(f)\|=C < \infty \end{eqnarray*}$

stimmt so auch nicht. Aus der Konvergenz folgt nur die Endlichkeit des Supremums. Es ist nicht klar, dass es mit einem C für alle geht. Da kommt dann Banach-Steinhaus ist Spiel.

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20.01.2019, 12:07

forbin

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Ah, verstehe. Die ersten beiden Punkte sind mir sofort klar.
Zum letzten Punkt:
Hier habe ich das wohl unsauber aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist stetiger linearer Operator. Es gilt schwache Konvergenz, also insbesondere punktweise Konvergenz. Mit B.S. folgt dann die gleichmäßige Beschränktheit: $\begin{eqnarray*} \sup||\gamma(x_n)(f)||<\infty \Rightarrow \sup||\gamma(x_n)||<\infty \Rightarrow (x_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt.

20.01.2019, 12:11

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Freude

20.01.2019, 13:07

forbin

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Super

geschockt

Freude

Ich bin dir sehr dankbar, denn die Schritte konnte ich gut nachvollziehen.
Gerne würde ich die (b) mit deiner Hilfestellung angehen, denn ich bin gerade unterwegs und für die Rückrichtung in (a) habe ich schon eine Idee, die ich gerne später noch schreiben würde.

Bei der (b) fällt es mir nämlich gerade sehr schwer auf die richtige Idee zu kommen.
Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge und gelte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|e_i) = (x|e_i) \end{eqnarray*}$ .
Außerdem sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall\phi \in X\exists c\in\mathbb K, \exists n\in\mathbb N: (x_n)>c \end{eqnarray*}$ .

Das sollten die Bedingungen an mein Gegenbeispiel sein.
Allerdings tue ich mir beim "Ausdenken" von Gegenbeispielen immer sehr schwer.
Kannst du meinen Kopf in die richtige Richtung drehen?

20.01.2019, 13:32

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Ich kenne ein Gegenbeispiel, aber ob man da selber drauf kommt..
Die ganze Sache lebt im $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x_n=(\frac{1}{\ln(n+1)},\frac{1}{\ln(n+1)},\ldots,\frac{1}{\ln(n+1)},0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$ , wobei das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(n+1)} \end{eqnarray*}$ genau n+1-Mal am Anfang steht.
Jetzt muss man sich noch an die Euler-Mascheroni-Konstante erinnern.

20.01.2019, 13:55

Guppi12

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Alternativ die Folge $\begin{eqnarray*} x_n = ne_n \end{eqnarray*}$ , auch auf $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ .

20.01.2019, 14:07

forbin

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Zitat:

Original von URL
Ich kenne ein Gegenbeispiel, aber ob man da selber drauf kommt..
Die ganze Sache lebt im $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x_n=(\frac{1}{\ln(n+1)},\frac{1}{\ln(n+1)},\ldots,\frac{1}{\ln(n+1)},0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$ , wobei das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(n+1)} \end{eqnarray*}$ genau n+1-Mal am Anfang steht.
Jetzt muss man sich noch an die Euler-Mascheroni-Konstante erinnern.

Die Euler-Mascheroni-Konstante kennen wir nicht, aber ich lese mir das gleich mal durch smile

smile

Jetzt muss ich aber fragen:

Zitat:

Schwach konvergent heißt doch $\begin{eqnarray*} \lim(x_n,y)=(x,y) \end{eqnarray*}$ für t alle $\begin{eqnarray*} y\in\cal H \end{eqnarray*}$ . Das gilt doch dann insbesondere für $\begin{eqnarray*} y=e_i \end{eqnarray*}$ und das ist doch der zweite Teil der Behauptung.

Ist es nicht das, was ich gerade widerlegen soll?
Gerade hab' ich den Faden verloren.

Ich wollte nämlich bei Guppis Beispiel zeigen, dass es nicht schwach konvergiert.

20.01.2019, 16:37

forbin

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Nochmal ich:
Ich wähle nun $\begin{eqnarray*} (x_n)=n\cdot e_n \end{eqnarray*}$ .
Das diese unbeschränkt ist, ist mir klar.
Aber:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|e_i) = i\cdot e_i \end{eqnarray*}$
Nun müsste ich doch begründen, dass dies gerade $\begin{eqnarray*} (x|e_i) \end{eqnarray*}$ ist. Aber die Folge konvergiert doch gegen kein x verwirrt

verwirrt

Edit:
Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) = n\cdot e_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall i\in I \text{ sei } x = i\cdot e_i \end{eqnarray*}$ .
Es ist: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n) = (i\cdot e_i | e_i) = i ||e_i||^2 = i = (x|e_i) \end{eqnarray*}$ .

Nun noch die schwache Konvergenz widerlegen, woran es gerade hapert, aber ist das der richtige Weg?

20.01.2019, 17:41

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|e_i) = i\cdot e_i \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Bedenke $\begin{eqnarray*} (e_n,e_i)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\neq i \end{eqnarray*}$

20.01.2019, 17:45

forbin

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|e_i) = i\cdot e_i \end{eqnarray*}$ stimmt nicht. Bedenke $\begin{eqnarray*} (e_n,e_i)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\neq i \end{eqnarray*}$

Genau deshalb kam ich dadrauf. Es werden doch alle rausgehauen bis auf den i-ten Eintrag. Also liefert mir das ganze den Ausdruck. verwirrt

verwirrt

20.01.2019, 17:49

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Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (x_n,e_i) \end{eqnarray*}$ ist doch genau dann von Null verschieden, wenn n=i ist. Also ist $\begin{eqnarray*} (x_n,e_i)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>i \end{eqnarray*}$ , also erst recht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}(x_n,e_i)=0 \end{eqnarray*}$ .

20.01.2019, 17:53

forbin

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Zitat:

Original von URL
Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (x_n,e_i) \end{eqnarray*}$ ist doch genau dann von Null verschieden, wenn n=i ist. Also ist $\begin{eqnarray*} (x_n,e_i)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>i \end{eqnarray*}$ .

Das sehe ich ein und ich erkenne auch den Fehler in meinem Gedankengang. Vielen Dank dafür!
Nun versuche ich es mit diesem Wissen weiter.
Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) = n\cdot x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .
Es ist:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|e_i) = 0 = (x|e_i) \end{eqnarray*}$ , aber es ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt und damit nicht konvergent und damit nicht schwach konvergent.

20.01.2019, 17:58

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Wie siehst du jetzt so schnell, dass $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ nicht schwach gegen Null konvergiert?

20.01.2019, 18:05

forbin

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Wir diskutieren hier in einer whatsappgruppe und es kam der Einwand "Unbeschränkt=>nicht konvergent=>nicht schwach konvergent".
Aber deinem Einwand nach ist das wohl leider falsch unglücklich

unglücklich

20.01.2019, 18:09

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"Unbeschränkt=>nicht konvergent" ist richtig, "unbeschränkt =>nicht schwach konvergent" ebenso.
Allerdings ist "nicht konvergent=>nicht schwach konvergent" falsch.
Aber hier geht es doch darum, explizit anhand eines Beispiels zu belegen, dass man nicht auf die Beschränktheit verzichten kann. In meiner Welt ist also ein $\begin{eqnarray*} y\in\cal H \end{eqnarray*}$ anzugeben, für das $\begin{eqnarray*} \lim(x_n,y)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Edit: Nachdem ich die Aufgabe nochmal gelesen habe, kann man es wohl auch anders verstehen. Dann reicht in der Tat der Hinweis, dass (x_n) nicht beschränkt ist

20.01.2019, 18:16

forbin

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Hm, ok

verwirrt

Mein Verständnis war, ein Beispiel anzugeben ( in unserem Fall x_n = n*e_n), zeigen dass die Bedingung erfüllt ist (ist sie), zeigen dass die Folge nicht beschränkt ist (haben wir) und folgern, dass sie nicht schwach konvergent ist.

Auf deinen Vorschlag hin würde ich aber wählen:
$\begin{eqnarray*} y = e_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}(x_n|y) = \lim\limits_{n\to\infty}(n\cdot e_n|y) = \lim\limits_{n\to\infty}n\cdot (e_n|e_n) = n \to\infty \end{eqnarray*}$

20.01.2019, 18:19

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Schau dir mal meinen Edit zu meinem letzten Beitrag an. Vermutlich reicht der Hinweis auf Unbeschränktheit.

Deine Wahl für y funktioniert nicht. Du machst den gleichen Denkfehler wie vorhin.

20.01.2019, 18:24

forbin

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Zitat:

Original von URL
Deine Wahl für y funktioniert nicht. Du machst den gleichen Denkfehler wie vorhin.

Das ist schade und sehr frustrierend, da ich wirklich davon ausgegangen war, eben das jetzt ausgemerzt zu haben. Ich wähle y ja nun in Abhängigkeit von n, sodass mir eben das Auslöschen nicht mehr passieren kann.
Ich muss versuchen die Rückrichtung der a) noch zu bekommen. Ich hänge seit heute morgen um 10:30 an dieser Aufgabe, das darf nicht sein.

20.01.2019, 18:28

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y darf nicht von n abhängen. Für $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2,\ldots) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x_n,y)=ny_n \end{eqnarray*}$ Jetzt muss du die y_k so harmonisch wählen, dass das eben nicht gegen Null geht, aber immer noch $\begin{eqnarray*} y\in\ell^2 \end{eqnarray*}$ gilt

20.01.2019, 18:36

Clearly_wrong

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Nettes Wortspiel, gefällt mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.01.2019, 18:38

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smile

Wink

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