Lagrange mit zwei Nebenbedingungen

20.01.2019, 14:46

CFCLamps

Lagrange mit zwei Nebenbedingungen

f(x,y,z)=x+y+z

g1(x,y,z)=x^2+y^2-2=0

g2(x,y,z)=x+z-1=0

Bilde ich jeweils die partiellen Ableitungen und verknüpfe mit zwei Lagrange Multiplikatoren:

1+2x(Lamba1)+(Lambda2)=0

1+2y(Lamda1)=0

1+2z(Lamda2)=0

Wie löse ich dieses Gleichungssystem. Stehe da gerade voll auf dem Schlauch. Passt der Ansatz mit zwei Multiplikatoren?

20.01.2019, 15:32

Huggy

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RE: Lagrange mit zwei Nebenbedingungen

Zitat:

Original von CFCLamps

1+2z(Lamda2)=0

Diese Gleichung ist nicht richtig.

Zitat:

Wie löse ich dieses Gleichungssystem. Stehe da gerade voll auf dem Schlauch. Passt der Ansatz mit zwei Multiplikatoren?

Nach Korrektur der obigen Gleichung sollte die Lösung des Gleichungssystems kein Problem sein.

Alternativ kann man die Nebendingungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen und das Ergebnis in die Zielfunktion einsetzen.

20.01.2019, 16:05

CFCLamps

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Ah da war wohl ein Denkfehler mit dabei. Klar Lamda 2 = -1 dann.

Kommst du auch auf x=0, y=1/8, z=1 mit einem Lamda 1 = - 1/4?

20.01.2019, 16:22

Huggy

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Ich komme auf 2 Lösungen:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad x=0, y=1, z=1,\lambda_1=-\frac 1 2. \lambda_2=-1, f(x,y,z)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad x=0, y=-1, z=1,\lambda_1=\frac 1 2. \lambda_2=-1, f(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$

21.01.2019, 14:37

CFCLamps

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Wie kommst du auf Lamda 1? verwirrt

Durch die unterste Gleichung erhalte ich ja Lamda 2=-1

Wenn ich das in Gleichung 1 einsetze steht da: 2*Lamda1*x=0

22.01.2019, 08:43

Huggy

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Zitat:

Original von CFCLamps
Wenn ich das in Gleichung 1 einsetze steht da: 2*Lamda1*x=0

Richtig. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1+2\lambda_1 y=0 \end{eqnarray*}$ zeigt nun, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ zu einem Widerspruch führt. Es muss also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sein. Damit kann aus den beiden Nebendingungen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Zum Schluss kann man dann $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen, obwohl das gar nicht mehr benötigt wird.

24.01.2019, 17:55

CFCLamps

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Ah okay, hab ich verstanden

Aber y wäre dann +/- Wurzel(2)

25.01.2019, 08:36

Huggy

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Stimmt. Ich hatte in die erste Nebenbedingung versehentlich auch eine 1 hineingeschrieben statt der 2.

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