Fouriertransformierte holomorph

20.01.2019, 19:05	fourier1	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformierte holomorph Aufgabe: [attach]48774[/attach] Lemma, welches ich verwenden möchte: [attach]48775[/attach] $\begin{eqnarray} \hat f=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ixz}d\lambda(x) \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} g(x,z):=f(x)e^{-ixz} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_a:=\{z \in \mathbb{C}:-a<Im(z)<a\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\mapsto g(x,z) \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} z \in U_a \end{eqnarray}$ integrierbar, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ per Voraussetzung integrierbar ist und die stetige Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto e^{-ixz} \end{eqnarray}$ ist auf dem kompakten Träger natürlich integrierbar (stetig+kompakt). Außerhalb vom Träger ist $\begin{eqnarray} g(x,z) \end{eqnarray}$ gleich Null, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dort verschwindet. $\begin{eqnarray} z \mapsto g(x,z) \end{eqnarray}$ ist holomorph für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -fast alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ da für festes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ eine Konstante ist und $\begin{eqnarray} z \mapsto e^{-ixz} \end{eqnarray}$ ist holomorph. Und der dritte Punkt: $\begin{eqnarray} \|g(x,z)\|=\|f(x)e^{-ixz}\|=\|f(x)e^{Im(z)}\|\le \|f(x)\|e^{a\|x\|} \end{eqnarray}$ und das ist integrierbar. Also ist $\begin{eqnarray} F(z):=\int_{\mathbb{R}}g(z,.) d\lambda (.) \end{eqnarray}$ holomorph auf $\begin{eqnarray} U_a \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} U_a \end{eqnarray}$ beliebig war, holomorph auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Denkt ihr das passt so?

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