Empirische Standardabweichung

21.01.2019, 08:51

Horst2000

Empirische Standardabweichung

Hallo!
Ich benötige eine Weg-Zeit-Funktion h(t).

Dazu habe ich aus praktische Gründen eine Zeit-Weg-Messung t(h) mit einer Auflösung von 0,5 cm und 1 s n mal durchgeführt, den ar. Mittelwert für jeden 0,5 cm - Schritt gebildet und die Werte entsprechend als h(t) interpretiert und dargestellt. Soweit so gut.
Dazu benötige ich aber noch die Unsicherheit meiner resultierenden Funktion aus den Mittelwerten. Mein Ansatz ist, die größte auftretende empirische Standardabweichung dafür anzugeben. Und hier stehe ich vor dem Problem:
Wenn ich die h(t)-Messungen dafür als Grundlage nehme, bekomme ich als Stabw zwar [cm], aber ich habe jeweils nur wenige Werte, die ich dafür verwenden kann (mal ist h(t=2 s) = 8 cm, in einer anderen Reihe ist es 7 cm - meistens ist es NaN). Somit ist die Stabw meiner Meinung nach nicht sonderlich aussagekräftig.
Oder ich nehme die ursprünglichen Werte t(h), wo ich bis auf wenige Ausnahmen n Werte je 0,5 cm habe. Dann ist meine Stabw aber [s], und damit weiß ich nichts anzufangen.
Ist das Problem verständlich? Kann mir jemand weiterhelfen?

21.01.2019, 09:22

Dopap

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1.) Ist die Funktion danach eine Wertetabelle oder
2.) ist diese Funktion dann eine glatte Kurve mit einer Funktionsvorschrift?

21.01.2019, 09:31

Horst2000

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Zitat:

Original von Dopap
1.) Ist die Funktion danach eine Wertetabelle oder
2.) ist diese Funktion dann eine glatte Kurve mit einer Funktionsvorschrift?

Die resultierende Funktion ist ein Polynom 2.O. als Fitting durch die Mittelwerte der Messungen, also 2.)

28.01.2019, 09:41

Horst2000

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Ich bin leider noch nicht weitergekommen - hat noch jemand eine Idee hierzu?

28.01.2019, 13:27

Dopap

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du hast also eine Menge von Messpunkten $\begin{eqnarray*} (x_i;\hat y_i)\quad i=1...n \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ jeweils aus einer eigenen Messreihe stammen. $\begin{eqnarray*} \hat y_i= \frac 1m(y_{i1}+y_{i2}+ \cdots)+y_{im} \end{eqnarray*}$

sozusagen eine linkseindeutige Relation.

Das Approximations-Polynom 2. Ordnung bestimmt man am besten durch Minimierung der Fehlerquadrate mit allen Punkten.

Die Fehlerquadratsumme $\begin{eqnarray*} [\epsilon\epsilon] \end{eqnarray*}$ ist ein Maß der Güte dieses Polynoms. Eine höhere Ordnung vergrößert die Güte durch Verkleinerung von $\begin{eqnarray*} [\epsilon \epsilon] \end{eqnarray*}$

Nur ist das nicht alles. Dahinter sollte wenn möglich ein Gesetz stehen, z.B. beim freien Fall ein Term mit $\begin{eqnarray*} at^2+... \end{eqnarray*}$ , mit Luwi etwas mit $\begin{eqnarray*} v(t):=v(1-e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

edit: $\begin{eqnarray*} \hat y_i= \frac 1m(y_{i1}+y_{i2}+ \cdots+y_{im}) \end{eqnarray*}$ ist gemeint.

29.01.2019, 14:46

Horst2000

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Zitat:

Original von Dopap
du hast also eine Menge von Messpunkten $\begin{eqnarray*} (x_i;\hat y_i)\quad i=1...n \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ jeweils aus einer eigenen Messreihe stammen. $\begin{eqnarray*} \hat y_i= \frac 1m(y_{i1}+y_{i2}+ \cdots)+y_{im} \end{eqnarray*}$

sozusagen eine linkseindeutige Relation.

Sozusagen, ja.

Zitat:

Das Approximations-Polynom 2. Ordnung bestimmt man am besten durch Minimierung der Fehlerquadrate mit allen Punkten.

Okay, das könnte ich auch noch mal so machen.

Zitat:

Die Fehlerquadratsumme $\begin{eqnarray*} [\epsilon\epsilon] \end{eqnarray*}$ ist ein Maß der Güte dieses Polynoms. Eine höhere Ordnung vergrößert die Güte durch Verkleinerung von $\begin{eqnarray*} [\epsilon \epsilon] \end{eqnarray*}$

Die Güte des Polynoms ist auch interessant und den Vorschlag werde ich so umsetzen, aber worum es mir ging (da habe ich mich vielleicht umständlich ausgedrückt), ist zunächst die Güte meiner Messungen. Da würde ich die Standardabweichung nehmen, aber stehe dann vor oben genanntem Problem, dass ich entweder bei h(t) niemals alle 9 Messreihen vergleiche, sondern eher so zwei bis sechs, oder ich habe fast immer 9 Messreihen mit t(h), dann ist meine Standardabweichung aber in [s].
Aber vielleicht gibt es dafür auch keine Lösung, bzw. hätte ich mir das vorher überlegen sollen.

29.01.2019, 17:42

Dopap

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mmh.. da gibt es bestimmt diverse Möglichkeiten.

für jeden wahren Wert $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ existiert der Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ mit einem gewissen Vertrauensintervall dass $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegt.

Ein Konfidenzintervall von z.B. 95% bedeutet, dass in 95% aller Fälle das Intervall den unbekannten Parameter enthält.

man könnte nun für jedes $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ ein solches Intervall bestimmen und dessen reziproke Länge als Gewicht in das Approximationspolynom einfließen lassen.

Damit ist die Standardabweichung (en) vom Tisch; aber dein Ansinnen ist mir noch nicht so richtig klar.

12.03.2019, 20:38

Horst2000

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Hat ein bisschen länger gedauert, aber jetzt sitze ich mal wieder an der Aufgabe.

Zitat:

Original von Dopap
mmh.. da gibt es bestimmt diverse Möglichkeiten.

für jeden wahren Wert $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ existiert der Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ mit einem gewissen Vertrauensintervall dass $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall liegt.

Ein Konfidenzintervall von z.B. 95% bedeutet, dass in 95% aller Fälle das Intervall den unbekannten Parameter enthält.

Soweit ist mir das glaube ich klar: Der Standardfehler des Mittelwerts mit 2 multipliziert ergibt das 95%-Intervall um den jeweiligen Mittelwert.

Zitat:

man könnte nun für jedes $\begin{eqnarray*} \hat y_i \end{eqnarray*}$ ein solches Intervall bestimmen und dessen reziproke Länge als Gewicht in das Approximationspolynom einfließen lassen.

Hier steige ich aus.

Zitat:

aber dein Ansinnen ist mir noch nicht so richtig klar.

Ich möchte eine Angabe in +/- cm, wie gut das Polynom - egal ob aus allen oder nur den Mittelwerten gebildet - zukünftige Vorgänge (unter gleichen Bedingungen) beschreibt.

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